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Teleskopsumme

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Teleskopsumme

Ist $(\IK,+,\cdot{})$ ein Körper und ist $(a_n)_{n \in \IN} \in \IK^{\IN}$ eine Folge in $\IK\,,$ so bezeichnen wir für $n \in \IN$ eine Summe der Form

$\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)$

als Teleskopsumme.

Für eine solche gilt

$(*)\;\;\;\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)=\sum_{k=2}^{n+1} a_{k}\;- \sum_{k=1}^n a_k=a_{n+1}-a_1\,.$

Beispiel:
$\bullet$ Besonders nützlich ist die Teleskopsumme bei der Berechnung des Reihenwertes von $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}\,.$ Für jedes $k\,$ gilt nämlich offenbar

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\equiv:a_k-a_{k+1}\,,$

so dass sich mit

folgendes ergibt

$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(k+1)}=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)}=-\lim_{n \to \infty}\sum_{k=1}^n (a_{k+1}-a_k)$

$\underset{(*)}{=}-\lim_{n \to \infty}(a_{n+1}-a_1)=-\lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{n+1}-a_1\right)=-0-(-1)=1\,.$

Bemerkung:
Offenbar gibt es folgenden trivialen Zusammenhang zwischen einem endlichen Produkt und der Teleskopsumme:
Sind alle $a_n > 0\,,$ so folgt

$\blue{\ln(\frac{a_{n+1}}{a_1})=\ln(\produkt_{k=1}^n \frac{a_{k+1}}{a_k})=\sum_{k=1}^n (\ln(a_{k+1})-\ln(a_k))}=\ln(a_{n+1})-\ln(a_1)\,.$

Dabei wurde die Regel $\ln(a/b)=\ln(a)-\ln(b)$ für $a,b > 0\,$ angewendet; die interessante Beziehung dabei ist blaumarkiert, und sie ist interessant in der Anwendung, wenn man sie von rechts nach links benutzt.

Beispiel zur Bemerkung:
Man betrachte $\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})\,.$ Hier gilt

$\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})=\sum_{k=1}^n \ln(\tfrac{k+1}{k})=\sum_{k=1}^n (\ln(k+1)-\ln(k))=\ln(n+1)-\ln(1)=\ln(n+1)\,.$

Arbeitet man lieber mit Produkten, so kann man unter Verwendung des blaumarkierten Teils auch rechnen

$\sum_{k=1}^n \ln(1+\tfrac{1}{k})=\sum_{k=1}^n \ln(\tfrac{k+1}{k})=\ln(\produkt_{k=1}^n \tfrac{k+1}{k})=\ln(\tfrac{n+1}{1})=\ln(n+1)\,.$

Hier wurde die Beziehung $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ für $a,b > 0\,$ verwendet.

Teleskopsummen verwendet man insbesondere, um Aussagen über Teleskopreihen erzielen zu können! Ferner nennt man eine Teleskopsumme auch Ziehharmonikasumme.

(Zudem: Siehe auch Teleskopverknüpfung.)

Erstellt: Mo 09.08.2010 von Marcel

Letzte Änderung: So 09.02.2014 um 22:09 von Marcel

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