matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteHalbgruppe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Halbgruppe
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Halbgruppe

(Weitergeleitet von Unterhalbgruppe)

Definition Halbgruppe

(enthalten: Definitionen für assoziative Halbgruppe, kommutative Halbgruppe, Halbgruppen-Homomorphismus, Unterhalbgruppe)


Schule


Universität

Es sei X eine nichtleere Menge. Eine innere Verknüpfung $ \circ :X \times X \to X $ heißt assoziativ, wenn

$ a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c $

gilt für alle $ a,\, b,\, c \in X $.

Ein Paar $ (H,\circ) $, bestehend aus einer nichtleeren Menge H und einer assoziativen inneren Verknüpfung $ \circ $ auf H, heißt eine Halbgruppe.


Bemerkung

Folgende (und andere) Redewendungen sind üblich:

H zusammen mit $ \circ $ ist eine Halbgruppe, oder H ist bezüglich $ \circ $ eine Halbgruppe, oder $ \circ $ definiert auf H eine Halbgruppenstruktur, wenn gilt:

$ (H_1) $ $ H \ne \emptyset $,

$ (H_2) $ die Verknüpfung $ \circ: H \times H \to H $ ist assoziativ.


Beispiele

(1) $ (\IZ,+) $, $ (\IZ,\cdot) $ sind Halbgruppen.

(2) Für eine nichtleere Menge X sind $ (P(X),\cup) $, $ (P(X),\cap) $ Halbgruppen.

(3) Ist $ X \ne \emptyset $, dann ist $ E(X)=\{f\, \vert \, f:X \to X\} $ zusammen mit der Komposition von Abbildungen $ (f,g) \mapsto f \circ g $ eine Halbgruppe.


Definition (abelsche Halbgruppe)

Eine Halbgruppe $ (H,\cdot) $ heißt kommutativ oder abelsch, wenn $ a \circ b = b \circ a $ gilt für alle $ a,b \in H $.


Definition (Halbgruppen-Homomorphismus)

Sind $ (U, \circ) $ und $ (V,\star) $ Halbgruppen, dann ist $ f:U \to V $ ein Halbgruppen-Homomorphismus, wenn

$ f(a \circ b) = f(a) \star f(b) $

gilt für alle $ a,b \in U $.


Beispiel

Es ist für eine nichtleere Menge X

$ f: \begin{array}{ccc} (P(X),\cap) & \to &  (P(X),\cup) \\[5pt] A & \mapsto & f(A):=X \setminus A \end{array} $

ein Halbgruppen-Homomorphismus.


Definition (Unterhalbgruppe)

Eine nichtleere Teilmenge $ U \subseteq H $ eine Halbgruppe $ (H,\cdot) $ heißt Unterhalbgruppe (von H), wenn für alle $ u,\, v \in U $ auch $ u \circ v $ in U liegt. Die Restriktion von $ \circ $ auf $ U \times U $ liefert dann eine innere Komposition auf U, diese ist assoziativ (denn $ \circ $ ist bereits assoziativ auf H), d.h. $ (U, \circ) $ ist eine Halbgruppe.


Beispiele

$ 2\IZ = \{2m\, \vert\, m \in \IZ\} $ ist eine Unterhalbgruppe von $ (\IZ,+) $.


Quelle: isbn3446130799

Erstellt: Fr 29.07.2005 von Stefan
Letzte Änderung: Mi 10.08.2005 um 23:55 von Stefan
Weitere Autoren: Christian, Marc
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]