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Wie man das Bild einer linearen Abbildung bestimmt

Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f: V\to W $ mit $ \dim V=n $ und $ \dim W=m $.

Das Bild einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus W, zu denen es ein Urbild gibt:

$ f(V)=\Bild(f)=\left\{w\in W\ |\ \exists v\in V\ :\ w=f(v)\right\} $

Hat man bereits eine Basis $ \{v_1,\ldots,v_n\} $ von $ V $ vorliegen, so wird das Bild von f von den Bildern der Basisvektoren aufgespannt:

$ \Bild(f)=\left\langle f(v_1),\ldots,f(v_n)\right\rangle $

Ist die beschreibende Matrix $ A $ dieser linearer Abbildung bekannt (dies ist eine $ m\times n $-Matrix $ A=(a_{ij}) $ (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $ f(v)=A\cdot{}v $ für alle $ v\in V $), so ist das Bild einfach der Span der Spaltenvektoren:

$ \Bild(f)=\left\langle Ae_1,\ldots,Ae_n \right\rangle=\left\langle \vektor{a_{11}\\\vdots\\a_{m1}},\ldots,\vektor{a_{1n}\\\vdots\\a_{mn}} \right\rangle $

Um eine "kompaktere" Darstellung des Bildes zu erhalten, empfiehlt sich die Bestimmung einer Basis des Bildes.


Beispiele

a) Gegeben ist die Matrix $ A=\pmat{1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 } $
Nach den obigen Ausführungen ist $ \operatorname{Bild}(A)=\left\langle \vektor{1\\4\\7},\vektor{2\\5\\8},\vektor{3\\6\\9}\right\rangle $.
Da der dritte Vektor eine Linearkombination der ersten beiden Vektoren ist, die ohnehin im Span enthalten ist, kann auf die Angabe des dritten Vektors verzeichtet werden und man erhält die kompaktere Darstellung $ \operatorname{Bild}(A)=\left\langle \vektor{1\\4\\7},\vektor{2\\5\\8}\right\rangle $. Hier sind nun beide Vektoren linear unabhängig, sie bilden also eine Basis des Bildes.

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Do 15.07.2010 um 09:18 von Marc
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