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Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt

Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f: V\to W $ mit $ \dim V=n $ und $ \dim W=m $.

Der Kern einer Abbildung ist ja die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor $ 0\in W $ abgebildet werden:

$ \Kern(f)=\left\{v\in V\ |\ f(v)=0\right\} $

Hat man bereits die beschreibende Matrix A dieser linearer Abbildung vorliegen (dies ist eine $ m\times n $-Matrix $ A=(a_{ij}) $ (bzgl. einer geeigneten Basis), für die gilt: $ f(v)=A\cdot{}v $ für alle $ v\in V $), so reduziert sich die Bestimmung des Kerns auf das Lösen eines linearen Gleichungssystems:

$ \Kern(f)=\Kern(A)=\left\{v\in V\ :\ Av=0\right\} $

Das heißt, die Lösungsmenge dieses (homogenen) linearen Gleichungssystems ist zu bestimmen:

$ Av=0 $
$ \gdw\ A\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \pmat{a_{11}&\ldots&a_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&\ldots&a_{mn}}\cdot{}\vektor{v_1\\\vdots\\v_n}=\vektor{0\\\vdots\\0} $

$ \gdw\ \begin{array}{|ccccc}
a_{11}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{1n}\cdot{}v_n&=&0\\
\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots\\
a_{m1}\cdot{}v_1&+\ldots+&a_{mn}\cdot{}v_n&=&0\end{array} $


Beispiele



1. Beispiel die Telefonmatrix von $ \IR^3 $ nach $ \IR^3 $:

$ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9} $

Sie hat den Rang 2 daraus bzw. aus der Dimensionsformel, lässt sich schliessen, dass es auch einen Kern gibt.

Erstellt man ein Gleichungssystem mit obigen Schema kommt man auf:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ 4v_1+5v_2+6v_3=0 $
$ 7v_1+8v_2+9v_3=0 $

komplett aufgelöst sieht es so aus:

$ v_1+2v_2+3v_3=0 $
$ -3v_2-6v_3=0 $
$ 0=0 $

Es gibt einen Freiheitsgrad, da wir 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten haben.
In diesem Fall setzen wir $ v_3:=1 $.
Daraus folgt:

$ v_2=-2 $

weiterhin folgt:

$ v_1=  -2v_2 -3v_3 = -2 \cdot (-2) - 3 \cdot 1 = 1 $.

Also ist der Kern:

$ Kern(T) = \left\langle \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right \rangle $




2. Beispiel:

$ F: \IR^3 \to \IR^2 $ (von $ \IR^3 $ nach $ \IR^2 $)

$ \vec{v} = \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{x + z \\ 2x + 4y + 2z} $


Die dazu aufgestellte Matrix lautet:

$ M = \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 4 & 2} $


Nun können wir 2 Gleichungen aufstellen (da nach $ \IR^2 $ abbilden).

$ M\cdot{}\vec{v} = \vec{0} $

I. $ x + z = 0 $
II. $ 2x + 4y + 2z $


Nun wird umgeformt:

I. $ x + z = 0 $

$ \Rightarrow \red{z = -x} $

$ \Rightarrow \green{x = -z} $




Jetzt wird II. umgeformt und I. $ \red{z = -x} $ eingesetzt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y + 2\cdot{}(\red{-x}) = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4y  \red{ - 2x} = 0 $

$ \Rightarrow 4y = 0 $

$ \Rightarrow y = 0 $




Jetzt wird II. umgeformt:

$ 2x + 4y + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 4\cdot{}0 + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2x + 2z = 0 $

$ \Rightarrow 2z = - 2x $

$ \Rightarrow z = - x $




Jetzt wird I. $ \red{z = -x} $ und II. $ \Rightarrow z = - x $ gleichgesetzt:

$ -x = -x $

$ x = x $


Der Kern lautet also:

$ Ker(F) = \vektor{x \\ 0 \\ -x} $

Erstellt: Di 24.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Sa 17.03.2007 um 22:06 von Disap
Weitere Autoren: DaMenge, KnockDown, Shaguar
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