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Wie man die Dimension eines Untervektorraumes berechnet

Gegeben: Vektorraum V über Körper K, Untervektorraum U
Gesucht: $ \dim U $ (=Dimension des Vektorraums)

Die Berechnungsweise hängt natürlich davon ab, wie der Untervektorraum in der Aufgabenstellung gegeben ist; aus diesem Grund ist dieser Artikel danach gegliedert.


Dimensionsbestimmung eines Spanns gegebener Vektoren

Gegeben ist also eine (endliche) Menge von Vektoren $ u_1,u_2,\ldots,u_m\in V $, die den Untervektorraum U aufspannen (ein Erzeugendensystem):
$ U=\left\langle u_1,u_2,\ldots,u_m \right\rangle=\left\{u\in V\ |\ \exists \lambda_1,\ldots,\lambda_m\in K\mbox{ mit } u=\lambda_1\cdot{}u_1+\ldots+\lambda_m\cdot{}u_m\right\} $

Für die Dimension gilt bei dieser Darstellung bereits: $ \dim U\le m $.


Effiziente Berechnung

1. Schreibe die Vektoren $ u_1,\ldots,u_m $ in die Zeilen (oder Spalten) einer Matrix.
2. Die Dimension des von $ u_1,\ldots,u_m $ erzeugten Unterraumes $ U $ ist der Rang dieser Matrix.

Ist zusätzlich eine Basis des von $ u_1,\ldots,u_m $ erzeugten Unterraumes $ U $ gesucht, so sollten die Vektoren $ u_1,\ldots,u_m $ in die Zeilen der Matrix geschrieben werden. Aus der Dreiecksgestalt der Matrix lassen sich sofort die Basisvektoren ablesen: Es sind dies die vom Nullvektor verschiedenen Zeilenvektoren der Dreiecksgestalt. Der Rang und damit die Dimension des Unterraums ist die Anzahl dieser Vektoren.


Umständliche Berechnung

Ein weiteres, aber umständliches Verfahren zur Dimensionsbestimmung ist nun, aus den gegebenen Vektoren eine Basis auszuwählen, also ein minimales Erzeugendensystem von $ U $ zu bestimmen. Die Anzahl der Basisvektoren ist dann die Dimension des Unterraums.

Wir ermitteln schrittweise eine Basis, indem wir der Reihe nach die Vektoren $ u_1,\ldots,u_m $ betrachten und uns jedes Mal fragen:
Liegt der Vektor $ u_i $ im Spann der bereits gefundenen Basisvektoren oder ist er mit den bisher gefundenen Basisvektoren linear unabhängig?
Ist er linear abhängig, dann "überspringen" wir ihn, ist er linear unabhängig, wird er als weiterer Basisvektor genommen.

Formale Beschreibung:

$ B_0:=\emptyset $
$ B_{i+1}:=\left\{\begin{matrix}
B_i & \mbox{ falls } u_{i+1}\in \langle B_i\rangle \\
B_i\cup\{u_{i+1}\} & \mbox{ falls } u_{i+1}\not\in \langle B_i\rangle
\end{matrix}\right. $ für $ i<m $

Die Entscheidung $ u_{i+1}\stackrel{?}{\in}\langle B_i\rangle $ kann in jedem Schritt durch Lösen eines linearen Gleichungssystems getroffen werden.

Für die auf diese Weise zuletzt gefundene Menge $ B_m $ gilt dann: $ B_m $ ist linear unabhängig und erzeugt den Unteraum $ U $ ($ \langle B_m\rangle=U $). $ B_m $ bildet also eine Basis von $ U $ und die Anzahl der Vektoren in $ B_m $ ist die gesuchte Dimension von $ U $.

Beispiele

$ U=\left\langle \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\right\rangle $ (siehe entsprechende [link]Frage in unseren Foren)

$ B_1:=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right\} $

Es gilt: $ \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\not\in \langle B_1\rangle $, also: $ B_2:=\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} $

Es gilt (siehe Nebenrechnung 1 am Ende dieses Artikels): $ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\in \langle B_2\rangle $ und wir setzen $ B_3:=B_2 $

Es gilt (siehe Nebenrechnung 2): $ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\in \langle B_3\rangle $ und wir setzen $ B_4:=B_3\ (=B_2) $

$ \dim U=\dim \langle B_4\rangle=|B_4|=2 $


Nebenrechnung 1

Zu entscheiden ist: $ \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}\stackrel{?}{\in}\langle B_2\rangle $
Diese Frage als lineares Gleichungssystem formuliert:
$ 1\cdot{}\lambda_1+2\cdot{}\lambda_2=5 $
$ 2\cdot{}\lambda_1+1\cdot{}\lambda_2=4 $
$ -1\cdot{}\lambda_1+1\cdot{}\lambda_2=1 $

Addition des (-2)-fachen der ersten Zeile zur zweiten:
$ \lambda_1+2\cdot{}\lambda_2=5 $
$ -3\cdot{}\lambda_2=-6 $
$ -\lambda_1+\lambda_2=1 $

Einsetzen von $ \lambda_2=2 $ in die erste Gleichung:
$ \lambda_1+2\cdot{}2=5 $
$ \lambda_2=2 $
$ -\lambda_1+\lambda_2=1 $

Einsetzen von $ \lambda_1=1 $ und $ \lambda_2=2 $ in die dritte Gleichung:
$ \lambda_1=1 $
$ \lambda_2=2 $
$ -1+2=1 $ (wahr)


Nebenrechnung 2

Zu entscheiden ist: $ \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ -1 \end{pmatrix}\stackrel{?}{\in}\langle B_3\rangle $
Diese Frage als lineares Gleichungssystem formuliert:
$ 1\cdot{}\lambda_1+2\cdot{}\lambda_2=4 $
$ 2\cdot{}\lambda_1+1\cdot{}\lambda_2=5 $
$ -1\cdot{}\lambda_1+1\cdot{}\lambda_2=-1 $

Addition des (-2)-fachen der ersten Zeile zur zweiten:
$ \lambda_1+2\cdot{}\lambda_2=4 $
$ -3\cdot{}\lambda_2=-3 $
$ -\lambda_1+\lambda_2=-1 $

Einsetzen von $ \lambda_2=1 $ in die erste Gleichung:
$ \lambda_1+2\cdot{}1=4 $
$ \lambda_2=1 $
$ -\lambda_1+\lambda_2=-1 $

Einsetzen von $ \lambda_1=2 $ und $ \lambda_2=1 $ in die dritte Gleichung:
$ \lambda_1=2 $
$ \lambda_2=1 $
$ -2+1=-1 $ (wahr)

Erstellt: Mo 30.08.2004 von Marc
Letzte Änderung: Fr 23.05.2008 um 11:47 von Marc
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