Wurzel

Definition:    Die n-te Wurzel aus einer reellen, nicht negativen Zahl    ist diejenige nicht negative Zahl    mit  

Wurzeln als Potenzen:   Wurzeln können statt mit dem Wurzelsymbol auch als Potenzen geschrieben werden:

Das Rechnen mit Wurzeln ergibt sich deshalb aus den Potenzgesetzen.

Spezialfälle:

Quadratwurzel            (ohne Wurzelindex geschrieben) steht für  

Kubikwurzel              

Wurzeln aus negativen Zahlen?

Die "offizielle" Betrachtungsweise ist, dass grundsätzlich alle Wurzeln (auch solche mit ungeraden Wurzelexponenten) und Potenzen mit gebrochenen Exponenten nur für nichtnegative Zahlen, also für definiert sind und stets einen eindeutigen Wert in  haben. Danach ist etwa   oder eine Potenz wie einfach gar nicht definiert.

Betrachtet man dann zum Beispiel die Gleichung   , so hat diese natürlich sehr wohl die Lösung   , aber man darf diese nicht schreiben als

und auch nicht als

sondern als

Man mag das als komplizierter als nötig betrachten, aber mit dieser konsequenten und einheitlichen Behandlung aller Wurzelausdrücke erspart man sich viele andere Komplikationen.

In heutigen Taschenrechnern wird leider keine einheitliche Definition befolgt. Bei gewissen Rechnern werden Kubikwurzeln aus negativen Zahlen akzeptiert und bei anderen gibt es (wie es sein sollte) eine Fehlermeldung.

Siehe zu dem Thema auch: Wurzeln aus negativen Zahlen

                                sowie: Diskussion

Wurzeln im Komplexen

Im Bereich der komplexen Zahlen ist die Verwendung von Wurzelausdrücken noch problematischer als etwa die Benützung von Kubikwurzeln aus negativen Zahlen. Schon die Schreibweise    für die komplexe Einheit ist nicht unbedingt glücklich, da die Gleichung    in    zwei Lösungen hat, nämlich   und  .
Für die komplexen Lösungen der Gleichung    findet man zwar oft den Begriff "Einheitswurzeln", allerdings hat man es dann nicht mehr mit einer eindeutigen Wurzelfunktion zu tun, sondern mit den verschiedenen Elementen einer Lösungsmenge.