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Wurzel2
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Wurzel2

Wie beweise ich, dass Wurzel aus 2 eine irrationale Zahl ist?


Grundgedanke des indirekten Beweises:

Annahme: $ \sqrt{2} $ sei eine rationale Zahl, dann lässt sie sich als gekürzten Bruch schreiben: $ \sqrt{2}=\frac{p}{q} $ und p, q sind teilerfremd.

Daraus folgt: $ 2=\frac{p^2}{q^2} \gdw 2q^2=p^2 $.

Das heißt, dass $ p^2 $ eine gerade Zahl ist, woraus auch folgt, dass p gerade ist, also in der Form $ 2k, k \in \IZ $ geschrieben werden kann.

Eingesetzt ergibt das: $ 2q^2=4k^2 \gdw q^2=2k^2 $, wodurch auch q gerade sein muss.

2 ist also Teiler von p und q.

Dies ist aber ein Widerspruch zu der gemachten Annahme!

Daher ist die Annahme als falsch anzusehen: $ \sqrt{2} $ ist irrational!

Erstellt: Di 12.12.2006 von informix
Letzte Änderung: Mi 30.09.2009 um 21:28 von Herby
Weitere Autoren: Teufel
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