algebraische StrukturDefinition algebraische Struktur
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Es seien  und  Mengen.
Eine Abbildung
heißt eine innere Verknüpfung (oder eine innere Komposition) auf .
Eine Abbildung
heißt eine äußere Verknüpfung (oder äußere Komposition) auf mit Operatorenbereich .
Ein Tupel
bestehend aus einer nichtleeren Menge , inneren Verknüpfungen  auf  und äußeren Verknüpfungen  auf mit nichtleerem Operatorenbereich   heißt eine algebraische Struktur.
Bemerkung
Der Begriff "algebraische Struktur" ist so weitläufig gefasst (in der Definition kann sogar  oder  sein), dass man damit natürlich noch nicht viel anfangen kann. Es werden aber im weiteren Verlauf der Algebra recht konkrete zusätzliche Forderungen an die Verknüpfungen gestellt.
Man vereinbart eine einfache Schreibweise:
Ist  eine innere Veknüpfung auf , dann bezeichnet man das  -Bild von  mit  .
In diesem Zusammenhang ist es üblich die Abbildungen nicht mit  zu bezeichnen, sondern mit  , oder ähnlich. Diese Zeichen, die Verknüpfungssymbole, sind also Bezeichnungen für innere oder äußere Verknüpfungen.
Die am häufigsten verwendete Bezeichnung einer Verknüpfung  ist der Punkt, also:
![$ \cdot \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \cdot y, \end{array} $](/teximg/9/8/00393789.png "$ \cdot \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x \cdot y, \end{array} $")
und das Zeichen  ,
![$ + \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x + y. \end{array} $](/teximg/0/9/00393790.png "$ + \, : \, \begin{array}{ccc} X \times X & \to & X\\[5pt] (x,y) & \mapsto & x + y. \end{array} $")
Auch ist es üblich, in unmissverständlichenen Zusammanhängen den Punkt einfch wegzulassen und man schreibt vereinfacht  .
In der Benennung übernimmt man die Namen, die für die Symbole in den Spezialfällen bereits festgelegt sind. So heißt  ein Produkt auf ,  das Produkt aus den Faktoren  und  (in dieser Reihenfolge).  heißt Addition __auf und  die __Summe der Summanden und , etc. Ansonsten kann man die Bezeichnungen nach Belieben benennen, z.B.  "Kringel",  "Stern", etc. Will man sich nicht festlegen, liest man  als " verknüpft mit ".
Beispiele
a) Auf  sind und  (übliche Multiplikation und Addition) innere Verknüpfungen. Aber auch  ist eine innere Verknüpfung auf , jedoch  ist keine Verknüpfung auf , denn i.a. ist  nicht in .
b) Auf der Potenzmenge  eine Menge sind  und  innere Verknüpfungen.
c) Ist  die Menge aller abbildungen von  in sich und  das Kompositum der Abbildungen und  ,  , dann ist  eine innere Verknüpfung auf .
d) Für reelle Zahlen und natürliche Zahlen  sind  und  äußere Verknüpfungen auf  mit Operatorenbereich  .
Bemerkung (Verknüpfungstafeln)
Eine Verknüpfung auf einer endlichen Menge  gibt man meist explizit an. Dies geschieht zweckmäßigerweise in Form der Verknüpfungtafel (für ). Man schreibt die Elemente von an den oberen und an den linken Rand der Tafel und ganz links oben an die Ecke das Verknüpfungszeichen. Im Schnittpunkt der  -ten Zeile und der  -ten Spalte ( ) steht dann das Element  . (Die Ränder werden gelegentlich als nullte Zeile bzw. nullte Spalte bezeichnet.)
Entsprechend gibt man eine Verknüpfungstafel einer äußeren Verknüpfung  mit endlichen Mengen  an. Jede innere Verknüpfung auf kann natürlich auch als äußere Verknüpfung auf mit Operatorenbereich angesehen werden. Die unterschiedliche Bewertung dieser Auffassung tritt erst zutage, wenn durch zusätzliche Forderungen an eine algebraische Struktur die inneren und äußeren Verknüpfungen unterschiedlich behandelt werden.
Quelle: K. Meyberg, Algebra Teil 1, Carl Hanser Verlag, 1980, ISBN 3-446-13079-9
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