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Zahlenmenge

(Weitergeleitet von ganze Zahl)

$\IN$ : die Menge der natürlichen Zahlen

$\IB$ : die Menge der Bruchzahlen

$\IZ$ : die Menge der ganzen Zahlen

$\IQ$ : die Menge der rationalen Zahlen

$\IR$ : die Menge der reellen Zahlen

$\IC$ : die Menge der komplexen Zahlen

Es gilt: $\IN \subset \IZ \subset \IQ \subset \IR \subset \IC$

$\IB$ ist die Menge der positiven rationalen Zahlen: $\IB \subset \IQ$

In diesen Zahlenmengen sind zwei Verknüpfungen definiert:
"+" : die Addition und ihre Umkehrung, die Subtraktion "-"
" $\cdot{}$ " : die Multiplikation und ihre Umkehrung, die Division ":".

natürliche Zahlen

Die natürlichen Zahlen bilden die Menge
$\IN = \{1, 2, 3, 4, ...\}$
Es sind also die Zahlen, mit denen man zählen kann.

Nimmt man die dazu, so erhält man
$\IN_0 = \{0, 1, 2 ,3, 4 ...\} = \IN \cup \{0\}$

Viele Autoren behandeln die Null direkt als natürliche Zahl und verstehen under $\IN = \{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$ . Im Zweifel sollte die genaue Definition im jeweiligen Buch nachgeschlagen werden.

ganze Zahlen

Ein Element der Menge $\IZ:=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}$ heißt ganze Zahl.

Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl, reelle Zahl.
Die Menge der natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge der Menge der ganzen Zahlen.
$\IN\subset\red{\IZ}\subset\IQ\subset\IR\subset\IC$

Bruchzahlen

sind Quotienten aus zwei natürlichen Zahlen $\bruch {a} {b}$ , bei dem $a \in \IN_0$ und $b \in \IN$ gilt.

nennt man den Zähler des Bruches und den Nenner.

rationale Zahlen und Dezimalzahlen

Die Menge der rationalen Zahlen ist die Vereinigung der Menge der Bruchzahlen mit der Menge der (negativen) Gegenzahlen der Bruchzahlen.

$\IQ = \left\{... \bruch{2}{7}, \bruch{-2}{7}, \bruch{5}{27}, \bruch{-5}{27}, ...\right\}$

Die rationalen Zahlen können auf dem Zahlenstrahl angeordnet werden und liegen dort dicht.
Das bedeutet, dass zwischen je zwei "benachbarten" Brüchen stets mind. ein weiterer Bruchzahl angegeben werden kann:

$\bruch{7}{17}<\bruch{8}{17} \Rightarrow \bruch{14}{34}<\bruch{15}{34}<\bruch{16}{34} \Rightarrow \bruch{7}{17}<\bruch{15}{34}<\bruch{8}{17}$

Zu den rationalen Zahlen gehören auch die Dezimalzahlen, also diejenigen Brüche, die im Nenner eine Zehnerpotenz enthalten
(= endliche Dezimalbrüche),

$0,4 = \bruch{4}{10} = \bruch{2}{5}$ oder $0,468 = \bruch{468}{1000} = \bruch{117}{250}$

und
die periodischen Dezimalbrüche:

$\bruch{1}{3} = 0,\bar 3$ oder $\bruch{457}{999}= 0,\bar 4\bar5\bar7}$

irrationale Zahlen

Die Menge der irrationalen Zahlen umfasst alle unendlichen, nichtperiodischen Dezimalbrüche.

Beispiele für irrationale Zahlen:

$\sqrt{2} \approx 1,4142135...$

$\pi \approx 3,14159...$

$e \approx 2,7182818...$

reelle Zahlen

Die Menge $\IR$ der reellen Zahlen
umfasst alle endlichen und periodischen Dezimalbrüche und die unendlichen Dezimalbrüche.

Sie ist die Vereinigung der Menge $\IQ$ der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen Zahlen, wobei die irrationalen Zahlen unendliche, nichtperiodische Dezimalbrüche sind.

Beispiele für irrationale Zahlen:

$\sqrt{2} \approx 1,4142135...$

$\pi \approx 3,14159...$

$e \approx 2,7182818...$

komplexe Zahlen

Komplexe Zahlen sind Zahlen, die in der Form a+bi dargestellt werden, wobei i für die imaginäre Einheit steht.
Es gilt , wodurch auch Gleichungen der Form gelöst werden können.

siehe auch: Zahlenmengen in mathe-online.at

Erstellt: Di 19.10.2004 von informix

Letzte Änderung: Mi 30.09.2009 um 21:13 von Teufel

Weitere Autoren: Marc, Marcel

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