UmkehrfunktionVersion 14 von Sa 20.11.2004 um 23:40(Unterschied) ← Nächstältere Version | Aktuelle Version ansehen| Nächstjüngere Version → (Unterschied) Definition Umkehrfunktion
Seien  und  nichtleere Mengen.
Ist eine Funktion  bijektiv, so existiert eine Funktion  mit folgenden zwei Eigenschaften:
1.) 
2.) 
In diesem Fall heißt  die Umkehrfunktion von  .
Die Funktion  (bzw.  ) ist dabei die Identität auf (bzw. ).
Beispiele.
1.) Die Funktion   ![$ ]-\infty;-3] $](/teximg/6/1/00387816.png "$ ]-\infty;-3] $") definiert durch  ist bijektiv.
Wir berechnen die zugehörige Umkehrfunktion:
Dazu geben wir uns ein festes  aus dem Zielbereich der Funktion vor und suchen ein  aus dem Definitionsbereich mit  . Wir haben also die Gleichung  nach aufzulösen:
![$ x=\wurzel[3]{-y-3} $](/teximg/1/2/00387821.png "$ x=\wurzel[3]{-y-3} $")
Die Umkehrfunktion zu obiger Funktion ist also gegeben durch die Vorschrift:
![$ f^{-1}(y)=\wurzel[3]{-y-3} $](/teximg/2/2/00387822.png "$ f^{-1}(y)=\wurzel[3]{-y-3} $") .
Da man Funktionen meißt in Abhängigkeit vom Parameter schreibt, schreiben wir anstelle des Parameters den Parameter :
![$ f^{-1}(x)=\wurzel[3]{-x-3} $](/teximg/3/2/00387823.png "$ f^{-1}(x)=\wurzel[3]{-x-3} $")
Somit gelangen wir zum Ergebnis:
Die Umkehrfunktion zu der (bijektiven) Funktion definiert durch ist gegeben durch:
![$ f^{-1}: ]-\infty;-3] $](/teximg/4/2/00387824.png "$ f^{-1}: ]-\infty;-3] $")  und der Rechenvorschrift .
Bemerkungen.
1.) Die Umkehrfunktion einer bijektiven Funktion ordnet jedem Element aus dem Zielbereich genau ein Element des Definitionsbereiches zu.
2.) Ist bijektiv, so ist auch die Umkehrfunktion  eine bijektive Funktion.
3.) Man beachte, dass man lediglich als Symbol für die Umkehrfunktion einer Funktion (im Falle der Existenz der Umkehrfunktion; also wenn bijektiv ist) benutzt. Die Gefahr der Verwechslung mit dem Ausdruck  wird meist ausgeschlossen, weil sich meist aus dem Zusammenhang ergibt, ob als Symbol für die Umkehrfunktion (einer Funktion ) benutzt wird oder nicht.
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