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Funktion

Definition Funktion

Eine Zuordnung heißt Funktion, wenn jedem Element aus dem Definitionsbereich genau ein Element aus dem Wertebereich oder Zielbereich zugeordnet wird.
Die Zuordnungsvorschrift f(x) nennt man auch den Funktionsterm.

Bezeichnet man die Funktion mit $ f $ und ist $ x $ eine Zahl aus dem Definitionsbereich,
so nennt man $ f(x) = y $ den Funktionswert der Funktion $ f $ an der Stelle $ x $.


Bemerkungen.

Zwei Funktionen $ f: A \rightarrow B $ und $ g: C \rightarrow D $ sind genau dann gleich, wenn folgende drei Bedingungen gelten:
1.) $ A=C $
2.) $ B=D $
3.) $ \forall x \in A: f(x)=g(x) $.

Für die Gleichheit von Funktionen ist es also wesentlich, dass die Funktionen nicht nur die gleiche Funktionsvorschrift haben, sondern auch, dass sie den gleichen Definitionsbereich und den gleichen Zielbereich haben.


Eigenschaften reeller Funktionen mit Formvariablen

$ f(x) \rightarrow g(x) = f(x) + d  \rightarrow \    \mbox{  Verschiebung in y-Richtung} $

$ f(x) \rightarrow g(x) = a\cdot{}f(x) \rightarrow \   \mbox{  Streckung (a>1) oder Stauchung (a<1)} $

$ f(x) \rightarrow g(x) = f(x-c) \rightarrow \   \mbox{  Verschiebung in x-Richtung} $


Mögliche Eigenschaften spezieller Funktionen


  • symmetrisch (zur y-Achse oder zu Ursprung)
  • ganzrational
  • gebrochenrational
  • gerade oder ungerade
  • linear:
    Eine Funktion f heißt lineare Funktion, wenn sie die Form hat:

    $ y = f(x) = mx + n $

    Dabei ist $ m $ die Steigung des Graphen der Funktion und $ n $ heißt der Achsenabschnitt oder y-Abschnitt.
    Es gilt ferner, dass jede lineare Gleichung $ ax + by +c = 0 $ mit $ b \ne 0 $
    eine Gerade als Graphen besitzt, da sie umgeformt werden kann:
    $ ax + by + c = 0 $
    $ \Rightarrow by = -ax - c $      |:b
    $ \Rightarrow   y = -\bruch{a}{b}x + \bruch{c}{b} = mx + n $
  • konstant:
  • maßerzeugend/maßdefinierend
  • monoton:
  • mit Parameter:
    Hängt eine Funktion zusätzlich von einer weiteren Variablen t ab, so nennt man t den Parameter der Funktion $ f_t(x) $.
    Beispiel:

    $ f_t(x) = t\cdot{}x^2 $

    Für verschiedene t ergibt sich jeweils eine neue Funktion, aber diese verschiedenen Funktionen haben viele Eigenschaften gemeinsam. Darum kann man sie auch mit beliebigem t  untersuchen und erst anschließend spezielle t einsetzen.
  • quadratisch
  • rational

siehe auch

Kurvendiskussion, Abbildung, Graph, Relation, Parameteraufgaben, Ortskurve


Ermitteln der Funktionsgleichung von Funktionen in der SchulMatheFAQ

siehe auch bei [link]Mathe-online.at

Erstellt: Sa 04.09.2004 von Andi
Letzte Änderung: So 30.08.2009 um 20:57 von informix
Weitere Autoren: Marc, Marcel
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