10 stelligeZahlen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Di 04.12.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo.
wie viele 10-stellige Zahle kann man bilden, unter folgenden Bedingungen:
Alle Ziffern von 0 bis 9 stehen zur Verfügung, also 10 Ziffern. Genau eine Ziffer darf doppelt sein. Beispiel: 0012345678, 0112345679, 9912345678, 8765432199...Mein Ansatz: 10!=3628800. Da man eine Ziffer ersetzen kann, um genau 10-stellig zu sein, wird das mit 10 multipliziert und das noch mal mit 10 multiplizieren, da man sie an 10 verschiedene Stellen setzen kann. . Ergibt also 362880000 Möglichkeiten. Kann das sein?
Grüße Ferma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ferma,
> Hallo.
> wie viele 10-stellige Zahle kann man bilden, unter
> folgenden Bedingungen:
> Alle Ziffern von 0 bis 9 stehen zur Verfügung, also 10
> Ziffern. Genau eine Ziffer darf doppelt sein. Beispiel:
> 0012345678, 0112345679, 9912345678, 8765432199...Mein
> Ansatz: 10!=3628800. Da man eine Ziffer ersetzen kann, um
> genau 10-stellig zu sein, wird das mit 10 multipliziert
> und
> das noch mal mit 10 multiplizieren, da man sie an 10
> verschiedene Stellen setzen kann.
Dann zählst Du aber manches doppelt, wenn ich mich nicht gerade irre!
> Ergibt also 362880000
> Möglichkeiten. Kann das sein?
Ich schreibe einfach mal meine Überlegungen:
Es gibt ${10 [mm] \choose [/mm] 2}$ Möglichkeiten, wo eine Ziffer doppelt
geschrieben werden kann - die Reihenfolge der "Doppelziffer" ist dabei
ja egal. (Die Beispiele oben sind schon deshalb schlecht, weil die Ziffer
dann direkt immer "paarweise" auftaucht, also neben der Ziffer steht sie
als direkter Nachbar.)
Für diese ${10 [mm] \choose [/mm] 2}$ Möglichkeiten können wir eine Ziffer
auswählen, die doppelt auftaucht:
- Macht also $10*{10 [mm] \choose [/mm] 2}$
und für die anderen 8 Stellen verbleiben [mm] $\underbrace{9*8*7*6*5*4*3*2}_{8 \text{ Zahlen}}$ [/mm]
Möglichkeiten, diese anzuordnen, wenn jede von diesen dann genau
einmal vorkommen darf.
Damit komme ich auf
[mm] $$10*\frac{10!}{2!*8!}*9*8*7*6*5*4*3*2=10*(10*9/2)*9!=45*(10!)=163296000$$
[/mm]
Möglichkeiten.
So: Jetzt haben wir unterschiedliche Ergebnisse - aber das kann auch
schon daraus resultieren, dass wir die Aufgabe anders aufgefasst haben.
Meines Erachtens nach wäre nämlich
[mm] $$1012345678\,$$
[/mm]
auch erlaubt.
Wenn Du aber vermutest, dass es die "Doppelziffer" auch immer im
"Doppelpack" geben soll - diese einander also direkt benachbart sein
sollen, dann sehe ich aber auch nicht 10 Möglichkeiten dafür:
Nehmen wir mal an, die Doppelziffer wäre 1, alle anderen werden nicht
wirklich geschrieben
1. 1 1 _ _ _ _ _ _ _ _
2. _ 1 1 _ _ _ _ _ _ _
3. _ _ 1 1 _ _ _ _ _ _
4. _ _ _ 1 1 _ _ _ _ _
5. _ _ _ _ 1 1 _ _ _ _
6. _ _ _ _ _ 1 1 _ _ _
7. _ _ _ _ _ _ 1 1 _ _
8. _ _ _ _ _ _ _ 1 1 _
9. _ _ _ _ _ _ _ _ 1 1
Das würde dann [mm] $\textbf{9}*10*(9*8*7*6*5*4*3*2)=9*10!$ [/mm] (bei [mm] $\textbf{1.}$ [/mm] sieht man: das "Paar" 1 1
kann man noch um 8 Stellen nach rechts verschieben, 'bis nichts mehr
geht'!) Möglichkeiten ergeben (also auch ein anderes Ergebnis wie bei Dir).
Aber zum einen: Ich sehe nicht, warum die "doppelte Ziffer" immer mit sich
selbst benachbart sein sollte, daher meine obige Rechnung!
Aber zum anderen: Ohne Garantie darauf, dass meine Überlegungen so
stimmen. Ich kann hier durchaus Denkfehler drinne haben (und fände es
super, wenn sich das jemand anguckt und mich entweder auf meine Fehler
hinweist, oder meine Überlegungen bestätigt)!
Vielleicht kannst Du das ganze ja einfach mal mit 4 oder 5 Stellen
analog überlegen, sowas ist meist ein guter Hinweis - zumal Du anstatt
den Ziffern 1 bis 10 dann ja auch weniger erlauben kannst (mindestens so
viele Ziffern wie Stellen aber mitnehmen). Dann hat man zwar immer noch
eine risiege Anzahl, aber man kann versuchen, mal alle Kombinationen
aufzuzählen.
Alternativ: Mal Dir sowas wie einen "Baum" auf...
Edit: Einen Fehler bei mir sehe ich gerade: Man muss eigentlich noch
[mm] $10!\,$ [/mm] zu meinem Ergebnis dazuaddieren - denn ich hatte das "eine Ziffer
DARF doppelt vorkommen" oben als "MUSS doppelt vorkommen"
behandelt. Aber das bekommst Du sicher nochmal korrigiert, und dann
vergleichen wir das alles vielleicht noch einmal...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:34 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
also nochmal:
Mit dem Hinweis in meinem Edit bei der anderen Antwort komme ich also
insgesamt auf
$$10!+45*(10!)=46*(10!)=166924800$$
Möglichkeiten.
Du hattest mit
> 362880000
irgendwie mehr...
Also irgendeiner von uns beiden übersieht jedenfalls etwas, oder wir
machen beide was falsch. 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 04.12.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo Marcel,
die Zahl 0120345678 ist auch gültig. Die 2-fach vorhandenen müssen nicht nebeneinander stehen. Von den 10 Ziffern ist eine Ziffer genau 2 fach und eine andere gar nicht enthalten. Die anderen 8 Ziffern sind jeweils genau einfach enthalten.
0012345678. Hier ist die 0 genau zweimal und die 9 gar nicht vorhanden. Die anderen 8 Ziffern sind genau einfach vorhanden. Die Anzahl der möglichen Permutationen ist eigentlich kleiner als 10!, wegen der zweifachen Ziffer.
Leider kenne ich die Formel nicht, die dem gerecht wird. Jetzt gibt es 9 Möglichkeiten, bei einer Doppelten, da man jeweils eine andere weglassen kann. Wenn beispielsweise die 0 doppelt ist:
0012345678
0023456789
0034567891
0045678912
0056789123
0067891234
0078912345
0089123456
0091234567
Das kann man 10 Mal machen. Also müsste mit 90 multipliziert werden, dann liegst Du günstiger, mit der kleineren Zahl.
VG Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 04.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Ferma,
> Hallo Marcel,
> die Zahl 0120345678 ist auch gültig. Die 2-fach
> vorhandenen müssen nicht nebeneinander stehen.
genau das meinte ich. Aber zudem wäre ja
[mm] $$0123456789\,$$
[/mm]
auch erlaubt: Eine Ziffer DARF ja doppelt, muss aber nicht doppelt
vorkommen.
Wenn keine Ziffer doppelt vorkommt:
- $10!$ Möglichkeiten
Hinzu kommen die Möglichkeiten, wo eine doppelt vorkommt (nicht
notwendig in benachbarter Weise):
Meinen Überlegungen zufolge wären das
- $45*(10!)$ Möglichkeiten
Daher meine Gesamtzahl:
$$46*(10!)$$
Möglichkeiten.
Ob das so stimmt: Wie gesagt: Ich würde es mal mit weniger Stellen und
weniger Ziffernmöglichkeiten erstmal testen...
Was weiß ich: 4 Ziffern: [mm] $\{0,1,2,3\}$ [/mm] und eine 4-stellige Zahl mit den
entsprechenden Regeln.
Nach meinen Überlegungen sollte dann doch folgen:
Ohne doppelte Ziffer: $4!=12$ Möglichkeiten
Mit doppelter Ziffer: ${4 [mm] \choose [/mm] 2}*(4!)=6*4*3*2=144$ Möglichkeiten
Wird zwar unübersichtlich, wenn das stimmt, aber wir müßten dann die
156 Möglichkeiten hinschreiben können.
Obwohl: Machen wir's erstmal mit 3 Ziffern [mm] $\{0,1,2\}$ [/mm] und einer
3-stelligen Zahl:
012
021
102
120
201
210
Das sind schonmal die 3!=6 Möglichkeiten OHNE doppelte Ziffer.
Jetzt die anderen, ich zähle sie durch:
1. 001
2. 002
3. 110
4. 112
5. 220
6. 221
7. 010
8. 020
9. 101
10. 121
11. 202
12. 212
13. 100
14. 200
15. 011
16. 211
17. 022
18. 122
Das wären jedenfalls $24=6+18=3!+{3 [mm] \choose [/mm] 2}*3!=3!+3*(3!)=4!$
Möglichkeiten. Sofern ich nichts vergessen oder doppelt gezählt habe!
Also:
Ich denke, bei Deiner Aufgabe passt das mit
$$10!+{10 [mm] \choose [/mm] 2}*(10!)$$
Möglichkeiten - jedenfalls so nach einem "minimalen Testlauf". Und wenn
Du eine andere Anzahl hast: Wende Deine Überlegungen auf den obigen
Minifall mit 3 Ziffern und einer 3-stelligen Zahl an und schreibe mal die
Kombinationen, die sich dann entsprechend aus Deinen Überlegungen
ergeben, auf. Wenn Du dann mehr als 24 hast, und unter der Annahme,
dass ich richtig liege, wirst Du bei Dir dann irgendwas mehrmals zählen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Ferma |
die Zahl enthält eine Ziffer GENAU zweifach und eine andere GAR NICHT. Die anderen 8 Ziffern jeweils GENAU einfach. Jetzt habe ich eine entsprechende Formel gefunden und mein Ansatz ist jetzt:
M=10!/2!*90=163296000
So viele Möglichkeiten müsste es geben.
VG Ferma
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die Zahl enthält eine Ziffer GENAU zweifach und eine
> andere GAR NICHT.
letzteres ist eine unmittelbare Konsequenz daraus, dass eine Ziffer
genau zweifach vorkommt.
> Die anderen 8 Ziffern jeweils GENAU
> einfach. Jetzt habe ich eine entsprechende Formel gefunden
> und mein Ansatz ist jetzt:
> M=10!/2!*90=163296000
Rechne Deine Formel für 3 Ziffern und 3 Stellen nach. Ich bleibe bei dem,
was ich hier (https://matheraum.de/read?i=933178)
sagte - denn die entsprechenden Überlegungen für eine analoge Formel
ergeben genau das Ergebnis, was ich durch Zählen erhalte, wenn ich
eine 3-stellige Zahl mit 3 Ziffern nach den selben Regeln bilde.
Also Allgemein: Liegt eine [mm] $n\,$-stellige [/mm] Zahl vor, und hat man [mm] $n\,$ [/mm] Ziffern
zur Verfügung, so kann man gemäß den in der Aufgabe gestellten Regeln
meines Erachtens nach
$$n!+{n [mm] \choose 2}*(n!)=n!*\left({n \choose 2}+1\right)=n!*\left(\frac{n*(n-1)}{2}+1\right)$$
[/mm]
solcher Zahlen bilden. (Irgendwie kann man sich da sicher auch etwas
Kombinatorisches mit dem kleinen Gauß überlegen, würde ich vermuten,
wenn ich mir das so anschaue!)
Und nach wie vor: Laut Aufgabenstellung DARF eine Ziffer zweimal (und
damit wird eine der anderen GAR nicht) vorkommen. Es ist aber kein MUSS.
Daher musst Du die Möglichkeiten, wo alle Ziffern genau einmal
vorkommen, auch mitzählen! (Wenn in der Aufgabe anstatt des
"DARF" ein "MUSS" steht, dann nimmst Du obige Formel und läßt einfach
den ersten Summanden $n!$ weg:
$${n [mm] \choose [/mm] 2}*(n!)$$
wären das einfach dann...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:21 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Ferma |
Hallo,
meines Erachtens ist die Formel für n Ziffern, wenn eine davon GENAU 2 Mal und eine davon GAR NICHT(Konsequenz) vorkommt, die anderen 8 alle unterschiedlich untereinender und mit der doppelten sind:
n!/2!(n(n-1))
Hier mit den 10(maximal) Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
10!/2*(10*9)=163296000
Danke für die Hilfe!
VG Ferma
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Hallo Ferma,
wie die Aufgabe lautet, können wir nicht wissen. Das musst Du schon wiedergeben, und zwar so exakt wie möglich.
> die Zahl enthält eine Ziffer GENAU zweifach und eine
> andere GAR NICHT. Die anderen 8 Ziffern jeweils GENAU
> einfach.
Ist das Deine Deutung oder ist es die Aufgabe? So, wie Du sie in Deinem ersten Post wiedergegeben hast, muss man sie anders verstehen - wegen des "darf".
Außerdem gibt die Aufgabe auch noch nicht her, ob führende Nullen wirklich erlaubt sind oder nicht. Bei einer Ziffernfolge wäre das ok, bei einer Zahl aber nicht.
Aber wie gesagt, das muss die Aufgabe hergeben. War das der genaue Wortlaut?
> Jetzt habe ich eine entsprechende Formel gefunden
> und mein Ansatz ist jetzt:
> M=10!/2!*90=163296000
> So viele Möglichkeiten müsste es geben.
> VG Ferma
1) 10-stellig, genau eine Ziffer doppelt, führende Nullen erlaubt:
folgende Faktoren gehen in die Lösung ein:
$10$ für die Auswahl der doppelten Ziffer
$9$ für die Auswahl der fehlenden Ziffer (oder umgekehrt, ist egal)
[mm] \vektor{10}{2} [/mm] für die möglichen Positionen der doppelten Ziffer
$8!$ für die Positionen der übrigen.
Also insgesamt [mm] 10*9*\bruch{10*9}{1*2}*8!=10!*45=163.296.000
[/mm]
Das ist Dein oben genanntes Ergebnis.
2) 10-stellig, keine Ziffer doppelt, führende Null erlaubt:
$10!=3.628.800$
3) 10-stellig, genau eine Ziffer doppelt, führende Nullen verboten:
wie oben unter 1 abzüglich der Zahlen mit 1 oder 2 führenden Nullen.
- Zahlen, die die Null doppelt beinhalten:
[mm] 9*\vektor{9\\1}*8!=9*9!=3.265.920
[/mm]
- Zahlen, die nur eine Null beinhalten:
[mm] 9*8*\vektor{9\\2}*7!=36*9!=13.063.680
[/mm]
4) 10-stellig, keine Ziffer doppelt, führende Null verboten:
$9*9!=3.265.920$
Aus diesen vier Teilergebnissen kannst Du nun je nach tatsächlicher Aufgabenstellung, eigener Deutung sowie Lust und Laune Deine Lösung zusammenbauen.
Grüße
reverend
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