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| Aufgabe | 1) Weisen Sie nach, dass man den Ausdruck [mm] x^2/\wurzel[2]{x^3+1}
[/mm]
für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le1 [/mm] durch 1 nach oben abschätzen kann, d.h. [mm] x^2/\wurzel[2]{x^3+1}\le1 [/mm] für [mm] 0\le [/mm] x [mm] \le1. [/mm] |
Hallo,
wie kann man das denn machen? Kann man nicht einfach die Intervallgrenzen 0 und 1 einsetzen und dann ausrechnen, dass es in beiden Fällen kleiner ist? Aber damit ist es wahrscheinlich noch nicht ausreichend bewiesen, dass dies auch für Zwischenwerte gilt, oder? Und wie kann man da sonst vorgehen?
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:43 Sa 28.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Anna,
versuche einfach, die Ungleichung durch Äquivalenzumformungen oder [mm] $\Longleftarrow$-Umformungen [/mm] auf eine bekannte korrekte Ungleichung, z.B. die Voraussetzung zurückzuführen. Das ist hier nicht schwer.
LG
Will
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Hallo,
könntest Du vielleicht noch einen Tipp geben. ICh komme da einfach nicht weiter. Vielleicht den Term quadrieren? Aber eigentlich sieht es dann auch nicht viel besser aus. Oder das ganze multiplizieren mit der Wurzel aus [mm] x^3+1. [/mm] Aber das bringt eigentlich auch nicht viel. hm. Mir fällt nichts mehr ein sonst - mit x malnehmen?
Viele Grüße,
Anna
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Hi,
eine Möglichkeit wäre so:
[mm] \frac{x^2}{\wurzel{x^3+1}} \le [/mm] 1
[mm] \gdw x^2 \le \wurzel{x^3+1}
[/mm]
[mm] \gdw x^4 \le x^3+1
[/mm]
[mm] \gdw x^4-x^3 \le [/mm] 1
[mm] \gdw x^3(x-1) \le [/mm] 1
Dies ist offensichtlich immer erfüllt für [mm] x\in[0,1].
[/mm]
Grüße Patrick
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