matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteAbstand Vektor <-> Vektorraum
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Scalar products/modul" - Abstand Vektor <-> Vektorraum
Abstand Vektor <-> Vektorraum < Scalar products/modul < Uni-LinA u. Algebra < University < Maths <
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials

Abstand Vektor <-> Vektorraum: im R^5
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:36 Di 07/07/2015
Author: Ceriana

Aufgabe
Sei [mm] \|\cdot\|_{2} [/mm] die Euklidische Norm auf [mm] \IR^5. [/mm] Die Distanz zwischen einem Vektor v [mm] \in [/mm] V und einem Unterraum U [mm] \subset R^n [/mm] ist definiert durch d(v,U) = [mm] min\|v-u\|_{2} [/mm] (u [mm] \in [/mm] U). Es seien v  := [mm] (2,-1,0,1,1)^{T} \in R^5 [/mm] und U := [mm] \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{T} \in R^5 | x_1 + x_2 - x_3 + x_4 + x_5 = 0, x_1 - x_3 + x_4 = 0\}. [/mm]
Berechnen Sie d(v,U).

Hallo,

ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe eine ungefähre Vorstellung was ich tun muss, komme aber zu keiner brauchbaren Lösung. Mein Ansatz sieht so aus:

Die Basis von U ist [mm] \{(x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}, (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T}\}. [/mm] Dann ist das Minimum bestimmt durch:

[mm] \min{\|(\lambda\cdot (x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}+\mu\cdot (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T})-(2,-1,0,1,1)^{T}\|}_2. [/mm]

Bis hierhin: Ist das schonmal richtig? Mir fehlt leider einiges Wissen im Umgang mit Basen.

Das habe ich dann einfach aufgelöst anhand der Definition der Euklidischen Norm zu:

[mm] \min{\sqrt{(\lambda\cdot x_1+\mu\cdot x_1 -2)^2+(\lambda\cdot x_2 +1)^2+(-\lambda\cdot x_3-\mu\cdot x_3)^2+(\lambda\cdot x_4+\mu\dot x_4-1)^2+(\lambda\cdot x_5-1)^2}}. [/mm]

Damit komme ich aber beim besten Willen nicht weiter. Ich gehe auch ehrlichgesagt davon aus dass ich kompletten Unfug gebaut habe, da mir wie gesagt einiges am Umgang mit Basen fehlt. Kann mir jemand einen Schubs geben?

Liebe Grüße,

Ceriana

        
Bezug
Abstand Vektor <-> Vektorraum: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 13:07 Di 07/07/2015
Author: fred97


> Sei [mm]\|\cdot\|_{2}[/mm] die Euklidische Norm auf [mm]\IR^5.[/mm] Die
> Distanz zwischen einem Vektor v [mm]\in[/mm] V und einem Unterraum U
> [mm]\subset R^n[/mm] ist definiert durch d(v,U) = [mm]min\|v-u\|_{2}[/mm] (u
> [mm]\in[/mm] U). Es seien v  := [mm](2,-1,0,1,1)^{T} \in R^5[/mm] und U :=
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{T} \in R^5 | x_1 + x_2 - x_3 + x_4 + x_5 = 0, x_1 - x_3 + x_4 = 0\}.[/mm]
>  
> Berechnen Sie d(v,U).
>  Hallo,
>  
> ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe eine
> ungefähre Vorstellung was ich tun muss, komme aber zu
> keiner brauchbaren Lösung. Mein Ansatz sieht so aus:
>  
> Die Basis von U ist [mm]\{(x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}, (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T}\}.[/mm]
> Dann ist das Minimum bestimmt durch:
>  
> [mm]\min{\|(\lambda\cdot (x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}+\mu\cdot (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T})-(2,-1,0,1,1)^{T}\|}_2.[/mm]
>  
> Bis hierhin: Ist das schonmal richtig?


nein. Ich kann Dir nicht folgen

>  Mir fehlt leider
> einiges Wissen im Umgang mit Basen.
>  
> Das habe ich dann einfach aufgelöst anhand der Definition
> der Euklidischen Norm zu:
>  
> [mm]\min{\sqrt{(\lambda\cdot x_1+\mu\cdot x_1 -2)^2+(\lambda\cdot x_2 +1)^2+(-\lambda\cdot x_3-\mu\cdot x_3)^2+(\lambda\cdot x_4+\mu\dot x_4-1)^2+(\lambda\cdot x_5-1)^2}}.[/mm]
>  
> Damit komme ich aber beim besten Willen nicht weiter. Ich
> gehe auch ehrlichgesagt davon aus dass ich kompletten Unfug
> gebaut habe, da mir wie gesagt einiges am Umgang mit Basen
> fehlt. Kann mir jemand einen Schubs geben?

Es ist schwer, Dir zu helfen ! Ich bin nicht im Bilde, was Du verwenden darfst.

1. Möglichkeit: bestimme die orthogonale Projektion P: [mm] \IR^5 \to \IR^5 [/mm] auf U, also die lineare Abbildung P mit [mm] P^2=P [/mm] , Bild(P)=U und [mm] Kern(P)=U^{\perp}. [/mm]

Dann ist [mm] d(v,U)=||v-P(v)||_2 [/mm]

2. Möglichkeit: für x [mm] \in \IR^5 [/mm] sei [mm] f(x):=||v-x||_2^2 [/mm]

Gesucht ist dann das Minimum von f unter der Nebenbedingung x [mm] \in [/mm] U.

Multiplikatorenregel von Lagrange !

P.S.: es geht auch ohne Lagrange, denn ist [mm] x=(x_1,...,x_5) \in [/mm] U , so ist [mm] x_5=-x_2 [/mm] und [mm] x_4=x_3-x_1. [/mm]

FRED

FRED

>  
> Liebe Grüße,
>  
> Ceriana


Bezug
View: [ threaded ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ all forums  | ^ Tree of Forums  | materials


Alle Foren
Status vor 11h 33m 15. X3nion
UAnaR1FolgReih/Weierstraß Approximationssatz
Status vor 12h 30m 1. derbierbaron
UAuslg/Amann Escher , Analysis 1
Status vor 16h 51m 10. Al-Chwarizmi
LaTeX/Graphenverlauf "verfeinern"
Status vor 1d 18h 54m 7. matux MR Agent
UFina/Interner Zinsfuß
Status vor 2d 7. Al-Chwarizmi
S8-10/Logarithmusgleichung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]