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Abstand Vektor <-> Vektorraum: im R^5
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Di 07.07.2015
Autor: Ceriana

Aufgabe
Sei [mm] \|\cdot\|_{2} [/mm] die Euklidische Norm auf [mm] \IR^5. [/mm] Die Distanz zwischen einem Vektor v [mm] \in [/mm] V und einem Unterraum U [mm] \subset R^n [/mm] ist definiert durch d(v,U) = [mm] min\|v-u\|_{2} [/mm] (u [mm] \in [/mm] U). Es seien v  := [mm] (2,-1,0,1,1)^{T} \in R^5 [/mm] und U := [mm] \{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{T} \in R^5 | x_1 + x_2 - x_3 + x_4 + x_5 = 0, x_1 - x_3 + x_4 = 0\}. [/mm]
Berechnen Sie d(v,U).

Hallo,

ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe eine ungefähre Vorstellung was ich tun muss, komme aber zu keiner brauchbaren Lösung. Mein Ansatz sieht so aus:

Die Basis von U ist [mm] \{(x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}, (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T}\}. [/mm] Dann ist das Minimum bestimmt durch:

[mm] \min{\|(\lambda\cdot (x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}+\mu\cdot (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T})-(2,-1,0,1,1)^{T}\|}_2. [/mm]

Bis hierhin: Ist das schonmal richtig? Mir fehlt leider einiges Wissen im Umgang mit Basen.

Das habe ich dann einfach aufgelöst anhand der Definition der Euklidischen Norm zu:

[mm] \min{\sqrt{(\lambda\cdot x_1+\mu\cdot x_1 -2)^2+(\lambda\cdot x_2 +1)^2+(-\lambda\cdot x_3-\mu\cdot x_3)^2+(\lambda\cdot x_4+\mu\dot x_4-1)^2+(\lambda\cdot x_5-1)^2}}. [/mm]

Damit komme ich aber beim besten Willen nicht weiter. Ich gehe auch ehrlichgesagt davon aus dass ich kompletten Unfug gebaut habe, da mir wie gesagt einiges am Umgang mit Basen fehlt. Kann mir jemand einen Schubs geben?

Liebe Grüße,

Ceriana

        
Bezug
Abstand Vektor <-> Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Di 07.07.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]\|\cdot\|_{2}[/mm] die Euklidische Norm auf [mm]\IR^5.[/mm] Die
> Distanz zwischen einem Vektor v [mm]\in[/mm] V und einem Unterraum U
> [mm]\subset R^n[/mm] ist definiert durch d(v,U) = [mm]min\|v-u\|_{2}[/mm] (u
> [mm]\in[/mm] U). Es seien v  := [mm](2,-1,0,1,1)^{T} \in R^5[/mm] und U :=
> [mm]\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)^{T} \in R^5 | x_1 + x_2 - x_3 + x_4 + x_5 = 0, x_1 - x_3 + x_4 = 0\}.[/mm]
>  
> Berechnen Sie d(v,U).
>  Hallo,
>  
> ich komme mit der Aufgabe nicht klar. Ich habe eine
> ungefähre Vorstellung was ich tun muss, komme aber zu
> keiner brauchbaren Lösung. Mein Ansatz sieht so aus:
>  
> Die Basis von U ist [mm]\{(x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}, (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T}\}.[/mm]
> Dann ist das Minimum bestimmt durch:
>  
> [mm]\min{\|(\lambda\cdot (x_1, x_2, -x_3, x_4, x_5)^{T}+\mu\cdot (x_1, 0, -x_3, x_4, 0)^{T})-(2,-1,0,1,1)^{T}\|}_2.[/mm]
>  
> Bis hierhin: Ist das schonmal richtig?


nein. Ich kann Dir nicht folgen

>  Mir fehlt leider
> einiges Wissen im Umgang mit Basen.
>  
> Das habe ich dann einfach aufgelöst anhand der Definition
> der Euklidischen Norm zu:
>  
> [mm]\min{\sqrt{(\lambda\cdot x_1+\mu\cdot x_1 -2)^2+(\lambda\cdot x_2 +1)^2+(-\lambda\cdot x_3-\mu\cdot x_3)^2+(\lambda\cdot x_4+\mu\dot x_4-1)^2+(\lambda\cdot x_5-1)^2}}.[/mm]
>  
> Damit komme ich aber beim besten Willen nicht weiter. Ich
> gehe auch ehrlichgesagt davon aus dass ich kompletten Unfug
> gebaut habe, da mir wie gesagt einiges am Umgang mit Basen
> fehlt. Kann mir jemand einen Schubs geben?

Es ist schwer, Dir zu helfen ! Ich bin nicht im Bilde, was Du verwenden darfst.

1. Möglichkeit: bestimme die orthogonale Projektion P: [mm] \IR^5 \to \IR^5 [/mm] auf U, also die lineare Abbildung P mit [mm] P^2=P [/mm] , Bild(P)=U und [mm] Kern(P)=U^{\perp}. [/mm]

Dann ist [mm] d(v,U)=||v-P(v)||_2 [/mm]

2. Möglichkeit: für x [mm] \in \IR^5 [/mm] sei [mm] f(x):=||v-x||_2^2 [/mm]

Gesucht ist dann das Minimum von f unter der Nebenbedingung x [mm] \in [/mm] U.

Multiplikatorenregel von Lagrange !

P.S.: es geht auch ohne Lagrange, denn ist [mm] x=(x_1,...,x_5) \in [/mm] U , so ist [mm] x_5=-x_2 [/mm] und [mm] x_4=x_3-x_1. [/mm]

FRED

FRED

>  
> Liebe Grüße,
>  
> Ceriana


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