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Hallo!
Kann mir jemand erklären wie ich den Abstand des Punktes Q(20|-6) von der Geraden y=4x-18 berechne? Ich bin dankbar für jede Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 Do 07.10.2004 | | Autor: | Carolin |
Hallo!
Du kannst nur den Abstand zwischen 2 Punkten P und Q bestimmen, deshalb musst du auf der Geraden den Punkt P finden, der vom Punkt Q den kürzesten Abstand hat. D.h. die Strecke PQ muss senkrecht auf der Geraden g1: y= 4x-18 stehen.
Also konstruieren wir uns jetzt eine neue Gerade g2 durch den Punkt Q (20/-6), die senkrecht auf der Geraden g1 steht.
2 Geraden stehen senkrecht aufeinander, wenn für die Steigungen gilt: m1 * m2 = -1.
Also ist 4 * m2 = -1, also m2 = -1/4.
Also wissen wir von unserer Geraden g2: y = -1/4 x + b
Das b müssen wir noch finden, indem wir einen Punkt einsetzen, der auf der Geraden g2 liegt.
Und das ist Q.
Q hat die Koordinaten x = 20 , y= -6.
Diese setzen wir in die Gerade ein und erhalten b.
-6 = -1/4 * 20 + b
--> -6 = -5 + b
--> b = -1
--> g2: y= -1/4 x - 1.
Jetzt schneiden wir die beiden Geraden (die ja senkrecht aufeinander stehen) und erhalten den Punkt P:
4x-18 = -1/4 x - 1
4 1/4 x = 17
17/4 x = 17 (geteilt durch 17/4 entspricht mal 4/17)
x = 4
Nun setzen wir den x-Wert in eine bel. Gleichung ein :
y= 4x-18 = 4*4-18 = -2
--> P(4/-2)
Nun müssen wir den Abstand zwischen P (4/-2)und Q(20/-6) bestimmen:
Abstand(P,Q) = [mm] \wurzel[2]{ (20-4)^2 + (-6-(-2))^2 } = \wurzel[2]{ 256+16} =\wurzel[2]{ 272}[/mm]
Das war's. Die Wurzel musst du natürlich noch berechnen, irgendwas zwischen 16 und 17.
Da ich keinen Taschenrechner und auch kein Stift und Papier hier hab, könnte es sein, dass ich mich verrechnet habe, aber das Prinzip stimmt so.
Ich hoffe, ich konnte dir helfen
Caro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Do 07.10.2004 | | Autor: | thongsong |
Vielen Dank Paulus und Carolin. Eure Lösungswege sind beide hervorragend. Muss mich nur noch für eines von den Beiden entscheiden ;)
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Hallo Zusammen,
> Kann mir jemand erklären wie ich den Abstand des Punktes
> Q(20|-6) von der Geraden y=4x-18 berechne? Ich bin dankbar
> für jede Antwort
Und was ist, wenn man die Aufgabe verallgemeinert:
Punkt [mm]Q(e|f)\![/mm]; Gerade [mm]y = ax+b\![/mm].
Kann man dann für einen solchen Aufgabetyp nicht durch folgende zwei Formeln sofort die Lösung für den Abstand finden?
allgemeine Formel für einen beliebigen Abstand (Punkt - Gerade):
[mm]\left|\frac{ae+b-f}{a\cos(\arctan(a)+\beta)-\sin(\arctan(a)+\beta)}\right|[/mm]
spezielle Formel für den kürzesten Abstand (Punkt - Gerade):
[mm]\frac{\left|ae+b-f\right|}{\sqrt{a^2+1}}[/mm]
Zumindest scheinen Aufgaben vom solchen Typ dann sofort lösbar zu sein. 
Viele Grüße
Karl
[P.S. Wenn man bei der allgemeinen Formel [mm] $\beta [/mm] = [mm] \tfrac{\pi}{2}$ [/mm] setzt, müßte sich eigentlich wieder der spezielle Fall ergeben. ]
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Hallo Karl,
Ich habe gerade mal schnell deine Formel für den kürzesten Abstand berechnet und sie ist absolut richtig. Du kannst also den Abstand eines Punktes Q zu einer Geraden mit dieser Formel berechnen.
Die Formel für den beliebigen Abstand habe ich nicht genau überprüft, weil ich nur raten kann, was du mit beta meinst.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Do 07.10.2004 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Irrlicht,
> Die Formel für den beliebigen Abstand habe ich nicht genau überprüft, weil ich nur raten kann, was du mit [mm] $\beta$ [/mm] meinst.
Also [mm] $\beta$ [/mm] ist bei mir eine Art "Kippwinkel" also der Winkel, um den man die gegebene Gerade $f(x) = ax + [mm] b\!$ [/mm] drehen müßte, damit sie [mm] $Q\!$ [/mm] trifft. Sucht man den kürzesten Abstand, so sind das genau [mm] $\tfrac{\pi}{2}$ [/mm] Radiants, asonsten wären das wohl [mm] $\tfrac{\pi}{2} \pm [/mm] k$, wobei $k [mm] \in \left[0, \pi\right]$.
[/mm]
Viele Grüße
Karl
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