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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Approximation von Diffgl.Lösun
Approximation von Diffgl.Lösun < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Approximation von Diffgl.Lösun: fehlende Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:48 Mo 14.11.2016
Autor: clemenum

Aufgabe
Seien [mm] $a,b\in \mathbb{R}, [/mm] a<b, [mm] M\subset \mathbb{R}^n, D:=[a,b]\times [/mm] M, f,g: [mm] D\to \mathbb{R}^n [/mm] $ stetig. Ferner sei $f$ Lipschitz-stetig bezüglich $y$ und für jedes Element aus $D$ möge es ein [mm] $\epsilon$ [/mm] geben, sodass der Abstand zwischen $f$ und $g$ kleiner (oder gleich) diesem [mm] $\epsilon$ [/mm] werde.

Die Funktionen $u,v: [mm] [a,b]\to [/mm] M$ seien Lösungen der AWP:
$u'= f(x,u), [mm] u(\xi)= \zeta_1$ [/mm]
$v'=g(x,v), [mm] v(\xi)= \zeta_2 [/mm] $

Man zeige: [mm] $\forall x\in [/mm] [a,b]: ||u(x)-v(x)|| [mm] \le ||\zeta_1 -\zeta_2||e^{K|x-\xi|}+\frac{\epsilon}{K}\left(e^{K|x-\xi|} -1\right) [/mm]

Mein Problem: Ich verstehe nicht wie da die Exponentialfunktion ins spiel kommen soll, denn nirgendwo wurde erklärt wie die AWP genau aussehen, nur ganz Allgemein wurde sie genannt.

Ich meine, ich könnte aus dem $u'$ ein $u$ machen indem ich von $x$ nach [mm] $\xi$ [/mm] integrierte und dann entsprechend natürlich aus dem $x$ eine Laufvariable nehme, wie etwa $t$. Nur wie kommen diese ganzen Konstanten und die Exponentialfunktion ins Spiel, hat da Jemand einen Tipp/Idee für mich? :-)

Meine Idee ist jedenfalls, dass ich $u,v$ eben durch Integrale ausdrücke: [mm] $u(x)=u(\xi) +\int_{\xi}^{x}f(t,u(t))dt$ [/mm]
[mm] $v(x)=v(\xi) +\int_{\xi}^{x}g(t,v(t))dt$ [/mm]
und dann betrachte ich die Differenz (zunächst im Fall [mm] $u(x)\ge [/mm] v(x)$):
$ ||u(x)-v(x)|| =  [mm] ||\zeta_1 -\zeta_2 [/mm] + [mm] \int_{\xi}^x\left(f(t,u(t))-f(t,v(t))\right)dt+\int_{\xi}^{x}\left(-g(t,v(t))+f(t,v(t))\right)dt||,$ [/mm] wobei ich einen Ausdruck derart hinzugefügt und wieder abgezogen habe, damit ich irgendwie diese Voraussetzungen anwenden kann. Allerdings ist mein Problem, dass ich nicht weiß, ob ich das Integral vielleicht die Ungleichheit zerstört. Und außerdem seh ich den Zusammenhang zur Exponentialfunktion leider nicht (Vermutung: Taylorreiheentwicklung?)  

Bin für Hilfe dankbar. :-)




        
Bezug
Approximation von Diffgl.Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 Mo 14.11.2016
Autor: Stala

Hallo Clememum,

erstaunlich, ich musste vor Kurzem eben diese Ungleichung beweisen, nur war bei mir noch ein Aufgabenteil vorgeschaltet, ohne den dies wohl nicht möglich gewesen wäre.

Das Einschieben der Null in den Integralen ist schon richtig. Formst du weiter um (Dreiecksungleichung, Voraussetzung einsetzen, dass f lipschitzsteitig bzgl y ist mit einer Konstante K, und [mm] \lVert [/mm] f-g [mm] \rVert [/mm] < [mm] \varepsilon, [/mm] Auflösen des Integrals, so kommst du ja auf:

[mm] \lVert [/mm] u(x) - v(x) [mm] \rVert \leq \lVert \zeta_1 [/mm] - [mm] \zeta_2 \rVert+ [/mm] K [mm] \lvert \int_{\xi}^x \lVert [/mm] u - v [mm] \rVert \, [/mm] dt + [mm] \varepsilon \lvert [/mm] x - [mm] \xi \rvert \\ [/mm]

An dieser Stelle konnte ich meine Lösung aus dem ersten Aufgabenteil nutzen, dass damit dann sofort folgt:

[mm] \lVert [/mm] u(x) - v(x) [mm] \rVert \leq \lVert \zeta_1 [/mm] - [mm] \zeta_2 \rVert e^{K\lvert x-\xi\rvert} [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{K}\left( e^{K\lvert x - \xi\rvert} - 1 \right) [/mm]

Falls du das freihändig noch zeigen sollst, dann gehe wie folgt vor:

Es sei a,b [mm] \in \mathbb{R}, [/mm] a<b, [mm] \xi \in [/mm] [a,b] und für die steige Funktion f:[a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] gelte

0 [mm] \leq [/mm] f(x) [mm] \leq \alpha [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] |x- [mm] \xi| [/mm] + K [mm] \int_{\xi}^x [/mm] f(t) dt =: F(x)

für jedes x [mm] \in [/mm] [a,b] ( [mm] \alpha, \varepsilon, [/mm] K [mm] \in \mathbb{R}, \alpha, \varepsilon \geq [/mm] 0 K > 0) : man zeige, dass für alle x [mm] \in [/mm]  [a,b] gilt:

f(x) [mm] \leq \alpha e^{K\lvert x-\xi\rvert} [/mm] + [mm] \frac{\varepsilon}{K}\left( e^{K\lvert x - \xi\rvert} - 1 \right) [/mm]

Dazu zeige man dass die Funktion G: [a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm]
G(x) := ( F(x) - [mm] \frac{\varepsilon}{K}(e^{K |x - \xi|}-1))e^{-K|x- \xi|} [/mm]

an der Stelle [mm] \xi [/mm] ein absolutes Maximum hat.

Eine Musterlösung zur Aufgabe habe ich noch nicht, daher alle Angaben ohne Gewähr ;)

VG


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Approximation von Diffgl.Lösun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Mo 14.11.2016
Autor: clemenum

Hallo Stala!

Ich glaube heute ist das Universum an unser beider Seite! Du bist ja aus Hagen!! :-))

Bezug
                        
Bezug
Approximation von Diffgl.Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Mo 14.11.2016
Autor: Stala

Zumindest ist das meine (Fern)Uni ;)

Dann hätte ich mir das Abtippen eben auch sparen können^^

Kommst du mit dem Hinweis weiter?
Viel Zeit hast ja nicht mehr zum Versenden!

Bezug
                                
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Approximation von Diffgl.Lösun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:14 Mo 14.11.2016
Autor: clemenum

Ja, ich habe mich ungeschickt ausgedrückt! :P

Ich bin auch nicht aus Hagen, aber Student. Und zusammen lernen ist das schönste, weil sich die Ideen der einzelnen Studenten gegenseitig befruchten (können).

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Approximation von Diffgl.Lösun: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Mo 14.11.2016
Autor: clemenum

Hey, geh mal oben links auf Nachrichtenzentrale ;] (das ist das kleine Kästchen unter dem Matheraumkubus)

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Approximation von Diffgl.Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 14.11.2016
Autor: Stala

erledigt

Bezug
                                        
Bezug
Approximation von Diffgl.Lösun: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:31 Mo 14.11.2016
Autor: Stala

Ich beantworte das einfach mal, damit es nicht länger rot ist...

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