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Aufgabe zur Analysis: Grenzwert=0
Status: (Übungsaufgabe) Aktuelle Übungsaufgabe Status (unbefristet) 
Datum: 16:40 Mo 08.12.2014
Autor: fred97

Aufgabe
Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:

Sei [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] stetig differnzierbar,  [mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR$ [/mm] und  [mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b \in \IR [/mm] $.

Man zeige: $b=0$.


Die übliche Bitte: wäre jemand aus dem Kreise der Moderatoren so freundlich, und deklariert diese Aufgabe in der gewohnten Weise ? Herzlichen Dank.

Gruß FRED

        
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:39 Di 09.12.2014
Autor: reverend

Hallo Fred,

sieht interessant aus, aber wahrscheinlich lote ich gerade mal wieder die Tiefe der Aufgabe nicht aus. Liegt vielleicht an den langen Sitzungen, die mir den Montag bis Mitternacht gefüllt haben...

Andererseits müsste die folgende Idee doch reichen, mal nur knapp skizziert.

> Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:
>  
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig differnzierbar,  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR[/mm]
> und  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b [/mm].
>  
> Man zeige: [mm]b=0[/mm].

Angenommen, [mm] b\ne{0}. [/mm] Dann ist mit [mm] d\in\IR^+ [/mm] bei genügend großem $x$ doch $f(x+d)$ beliebig nah an $f(x)+bd$  (Thema: [mm] $\varepsilon$-Umgebung). [/mm] Also kann der Grenzwert $a$ nicht existieren.

Soweit in die Tüte. Was klappt daran nicht?

Herzlich,
reverend

>  Die übliche Bitte: wäre jemand aus dem Kreise der
> Moderatoren so freundlich, und deklariert diese Aufgabe in
> der gewohnten Weise ? Herzlichen Dank.
>  
> Gruß FRED  


Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:58 Di 09.12.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
> sieht interessant aus, aber wahrscheinlich lote ich gerade
> mal wieder die Tiefe der Aufgabe nicht aus. Liegt
> vielleicht an den langen Sitzungen, die mir den Montag bis
> Mitternacht gefüllt haben...
>  
> Andererseits müsste die folgende Idee doch reichen, mal
> nur knapp skizziert.
>  
> > Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:
>  >  
> > Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig differnzierbar,  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR[/mm]
> > und  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b [/mm].
>  >  
> > Man zeige: [mm]b=0[/mm].
>  
> Angenommen, [mm]b\ne{0}.[/mm] Dann ist mit [mm]d\in\IR^+[/mm] bei genügend
> großem [mm]x[/mm] doch [mm]f(x+d)[/mm] beliebig nah an [mm]f(x)+bd[/mm]  (Thema:
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung). Also kann der Grenzwert [mm]a[/mm] nicht
> existieren.

Hallo reverend,

leider kann ich Dir nicht folgen. Es wäre schön, wenn Du Deine Idee etwas präzisieren würdest.

Grüße FRED

>  
> Soweit in die Tüte. Was klappt daran nicht?
>  
> Herzlich,
>  reverend
>  
> >  Die übliche Bitte: wäre jemand aus dem Kreise der

> > Moderatoren so freundlich, und deklariert diese Aufgabe in
> > der gewohnten Weise ? Herzlichen Dank.
>  >  
> > Gruß FRED  
>  


Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:43 Di 09.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Soweit in die Tüte. Was klappt daran nicht?

Gar nichts. Die Idee ausformuliert führt zum Widerspruch $f(x) [mm] \to \pm\infty \not=a$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:55 Do 15.10.2015
Autor: HJKweseleit

Du hast die richtige und einfachste Idee, alle anderen Beiträge sind viel zu kompliziert. Ausgeführt heißt das:

Ohne Einschränkung sei b>0.

Dann gibt es ein [mm] x_0 \in \IR, [/mm] so dass für alle [mm] x>x_0 [/mm] gilt:

f'(x)>b/2>0

Dann gilt: Für jedes [mm] x>x_o [/mm] gibt es ein [mm] \xi \in [x_0|x]mit [/mm]

[mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(\xi)>b/2 [/mm]  (Mittelwertsatz) [mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] f(x)>f(x_0)+(x-x_0)*b/2 [/mm]

Dann ist für alle [mm] x>x_0+(a+1-f(x_0))*2/b [/mm]  der Wert [mm] (x-x_0)*b/2>a+1-f(x_0) [/mm] und damit f(x)>a+1.   (+1 hätte man auch weglassen können)


Bezug
        
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:42 Di 09.12.2014
Autor: James90

Hi! Ist es in Ordnung hier Fragen zu stellen? Ich bin interessiert an der Aufgabe, aber mir ist noch einiges unklar.

1.Muss es nicht bei der letzten Voraussetzung heißen [mm] \lim_{x\to\infty}f'(x)=b\in\IR [/mm] ? Anscheinend gibt es aber zum Beispiel keine reelle stetig differenzierbare Funktion mit [mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=a\in\IR [/mm] und [mm] \lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty.... [/mm] Damit scheint sich dieses Problem geklärt zu haben oder liege ich falsch?

2.Könnte man nicht die Aufgabe umformen zu
Sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] stetig differenzierbar mit [mm] \lim_{x\to\infty}f(x)<\infty. [/mm] Zeige [mm] \lim_{x\to\infty}f'(x)=0 [/mm] oder übersehe ich etwas? Das wäre nämlich auch mein Ansatz, denn f ist differenzierbar und damit existiert für jedes [mm] x_0\in\IR [/mm] der Ausdruck [mm] \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] Diesen dürfen wir dann an dieser Stelle gleich [mm] f'(x_0) [/mm] setzen. Ich habe das nun umgeschrieben zu [mm] f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] und ich muss zeigen [mm] \lim_{x\to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0. [/mm] Dieses [mm] x\to\infty [/mm] am Anfang stört mich aber. Ich muss jetzt wohl irgendwo die Stetigkeit und den Grenzwert reinziehen, aber ich mir sehr unsicher. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar!

3.Mein zweiter Ansatz wäre anzunehmen, dass [mm] b\not=0 [/mm] ist und zum Widerspruch zu kommen. Ist das erfolgsversprechend?

Danke, James.

Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:04 Di 09.12.2014
Autor: fred97


> Hi! Ist es in Ordnung hier Fragen zu stellen?

Selbsredend !

> Ich bin
> interessiert an der Aufgabe, aber mir ist noch einiges
> unklar.
>  
> 1.Muss es nicht bei der letzten Voraussetzung heißen
> [mm]\lim_{x\to\infty}f'(x)=b\in\IR[/mm] ?


Ja, Du hast recht. Ich habs korrigiert.




> Anscheinend gibt es aber
> zum Beispiel keine reelle stetig differenzierbare Funktion
> mit [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)=a\in\IR[/mm] und
> [mm]\lim_{x\to\infty}f'(x)=\infty....[/mm] Damit scheint sich dieses
> Problem geklärt zu haben oder liege ich falsch?

Du liegst richtig.


>  
> 2.Könnte man nicht die Aufgabe umformen zu
>  Sei [mm]f:\IR\to\IR[/mm] stetig differenzierbar mit
> [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)<\infty.[/mm] Zeige
> [mm]\lim_{x\to\infty}f'(x)=0[/mm] oder übersehe ich etwas?

Nach meiner Auffassung lässt  [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)<\infty[/mm] auch zu:

[mm]\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty.[/mm]





>  Das
> wäre nämlich auch mein Ansatz, denn f ist differenzierbar
> und damit existiert für jedes [mm]x_0\in\IR[/mm] der Ausdruck
> [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.[/mm] Diesen dürfen
> wir dann an dieser Stelle gleich [mm]f'(x_0)[/mm] setzen.


Das darfst Du! Denn [mm] f'(x_0) [/mm] ist nach Definition(!) = [mm]\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},[/mm] falls dieser Grenzwert in [mm] \IR [/mm] existiert.


>  Ich habe
> das nun umgeschrieben zu [mm]f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
> und ich muss zeigen [mm]\lim_{x\to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0.[/mm]


Das sollte dann aber so lauten:

[mm]\lim_{x_0 \to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0.[/mm]



> Dieses [mm]x\to\infty[/mm] am Anfang stört mich aber. Ich muss
> jetzt wohl irgendwo die Stetigkeit und den Grenzwert
> reinziehen, aber ich mir sehr unsicher. Für einen Tipp
> wäre ich sehr dankbar!
>  
> 3.Mein zweiter Ansatz wäre anzunehmen, dass [mm]b\not=0[/mm] ist
> und zum Widerspruch zu kommen. Ist das
> erfolgsversprechend?

Ja.

FRED

>  
> Danke, James.


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Aufgabe zur Analysis: Dummy
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:56 Di 09.12.2014
Autor: matux

Dieser Beitrag dient nur dazu, die Übungsaufgabe sichtbar zu halten.
Nicht hierauf antworten.

LG matux

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Aufgabe zur Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:13 Do 11.12.2014
Autor: fred97

Offenbar beshäftigt sich niemand mehr mit obiger Aufgabe. Für Interessierte, hier meine Lösung:

Annahme: $b [mm] \ne [/mm] 0$. Wir definieren [mm] $g:\IR \to \IR$ [/mm] wie folgt:

   [mm] $g(x)=\bruch{1}{b}(fx)-a)$. [/mm]

Dann haben wir:

   $ [mm] \limes_{x \rightarrow\infty}g(x)=0$ [/mm]  und [mm] $\limes_{x \rightarrow\infty}g'(x)=1 [/mm] $.

Es gibt also ein $R>0$ mit:

   $|g(x)| [mm] \le [/mm] 1$  und $g'(x) [mm] \ge \bruch{1}{2}$ [/mm]  für $x [mm] \ge [/mm] R$.

Dann folgt:

   [mm] $g(x)-g(R)=\integral_{R}^{x}{g'(t) dt} \ge \integral_{R}^{x}{\bruch{1}{2} dt}=\bruch{x-R}{2}$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] R$.

Daher:

   [mm] $\bruch{x-R}{2} \le [/mm] g(x)-g(R)=|g(x)-g(R)| [mm] \le [/mm] |g(x)|+|g(R)| [mm] \le [/mm] 2$ für $x [mm] \ge [/mm] R$,

somit

   [mm] $\bruch{x-R}{2} \le [/mm] 2$ für $x [mm] \ge [/mm] R$,

also

   $x [mm] \le [/mm] 4+R$ für alle  $x [mm] \ge [/mm] R$.

Das ist aber Unfug !

Gruß FRED

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Aufgabe zur Analysis: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 00:27 Fr 12.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,


> Offenbar beshäftigt sich niemand mehr mit obiger Aufgabe.

Ich habe am Dienstag beim Fahrradfahren zur S-Bahn, dann in der
S-Bahn selbst und auch später bei der Rückfahrt gegrübelt, aber
leider bin ich zu keiner passenden Funktion gekommen.

> ...
> [mm]g(x)=\bruch{1}{b}(fx)-a)[/mm].
> ...

Schöne Lösung.

Kommt man eigentlich mit der Idee von James90 zum Ziel? Zu zeigen:

      [mm] \lim_{x_0 \to\infty}\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=0. [/mm]


Beste Grüße
DieAcht

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Aufgabe zur Analysis: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 So 14.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Aufgabe zur Analysis: weiterer Lösungsvorschlag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Fr 12.12.2014
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:
>  
> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig differnzierbar,  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR[/mm]
> und  [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b \in \IR [/mm].
>  
> Man zeige: [mm]b=0[/mm].

weil [mm] $f\,'$ [/mm] stetig ist, gilt

    [mm] $\int_x^{x+h}f\,'(t)dt=f(x+h)-f(x)$ [/mm]

für alle (relevanten) [mm] $x\,$ [/mm] und alle (relevanten) [mm] $h\,.$ [/mm]

O.E. sei $b > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen [mm] $f\,'(x) \to [/mm] b$: Es gibt ein [mm] $x_0 [/mm] > 0$ so, dass

    [mm] $f\,'(x) [/mm] > b/2$ für alle $x > [mm] x_0\,.$ [/mm]

Für alle $x > [mm] x_0$ [/mm] und alle $h > 0$ folgt dann aber

    [mm] $f(x+h)-f(x)=\int_{x}^{x+h}f\,'(t)dt \ge h*\frac{b}{2}\,.$ [/mm]

Weiter

    $|f(x+h)-a|+|a-f(x)| [mm] \ge [/mm] |f(x+h)-a+a-f(x)| [mm] \ge h*\frac{b}{2}$ [/mm]

Sei nun [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,.$ [/mm] Wegen $f(x) [mm] \to [/mm] a$ ($x [mm] \to \infty$) [/mm] existiert ein [mm] $x_1=x_1(\epsilon)$ [/mm] mit

    $|f(x)-a| < [mm] \epsilon$ [/mm]

für alle $x > [mm] x_1\,.$ [/mm]

Für alle $x > [mm] \max\{x_0,x_1\}$ [/mm] folgt: Für ALLE $h > 0$ ist

    [mm] $2\epsilon=\epsilon+\epsilon \ge [/mm] |f(x+h)-a|+|a-f(x)| [mm] \ge |f(x+h)-f(x)|=|\int_x^{x+h}f\,'(t)dt| \ge h*\frac{b}{2},$ [/mm]

insbesondere gilt dies für [mm] $h:=1\,.$ [/mm] Für $0 < [mm] \epsilon [/mm] < b/4$ (etwa [mm] $\epsilon:=b/8$) [/mm]
folgt also ein Widerspruch.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:04 So 14.12.2014
Autor: Fulla

Hallo FRED (und alle anderen),
> Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:

>

> Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig differnzierbar, [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR[/mm]
> und [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b \in \IR [/mm].

>

> Man zeige: [mm]b=0[/mm].

Ist denn da wirklich so viel zu zeigen?

Angenommen [mm]b\neq 0[/mm], d.h. [mm]\lim_{x\to\infty} f^\prime(x)\neq 0[/mm]. Dies bedeutet, dass [mm]f[/mm] ab einem genügend großen [mm]x[/mm] streng monoton steigend bzw. fallend ist, was ein Widerspruch zu [mm]\lim_{x\to \infty} f(x)=a\in\mathbb R[/mm] ist, denn aus strenger Monotonie folgt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty[/mm].

Übersehe ich da was?

Wenn ich meine Definitionen entsprechend festlege, bin ich doch auf der sicheren Seite.


Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 So 14.12.2014
Autor: fred97


> Hallo FRED (und alle anderen),
>  > Ich habe mal wieder auf eine nette Aufgabe gefunden:

>  >
>  > Sei [mm]f:\IR \to \IR[/mm] stetig differnzierbar, [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f(x)=a \in \IR[/mm]

>  
> > und [mm]\limes_{x \rightarrow\infty}f'(x)=b \in \IR [/mm].
>  >
>  > Man zeige: [mm]b=0[/mm].

>  
> Ist denn da wirklich so viel zu zeigen?
>  
> Angenommen [mm]b\neq 0[/mm], d.h. [mm]\lim_{x\to\infty} f^\prime(x)\neq 0[/mm].
> Dies bedeutet, dass [mm]f[/mm] ab einem genügend großen [mm]x[/mm] streng
> monoton steigend bzw. fallend ist, was ein Widerspruch zu
> [mm]\lim_{x\to \infty} f(x)=a\in\mathbb R[/mm] ist, denn aus
> strenger Monotonie folgt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty[/mm].
>  
> Übersehe ich da was?

Hallo Fulla,

Du hast folgendes gemacht:

    $ [mm] \lim_{x\to\infty} f^\prime(x) [/mm] >  0 $ [mm] \Rightarrow [/mm] $f'(x) >0$  für hinreiched große x [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt ein R >0 mit: f ist auf [R, [mm] \infty) [/mm] streng wachsend [mm] \Rightarrow [/mm]  $ [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] $

Die letzte Implikation hast Du in meinen Augen nicht exakt begründet. Und genau darum geht es in dieser Aufgabe.

Ich denke , dass man ohne die Stetigkeit (oder mindesten der R- Integrierbarkeit auf kompakten Intervallen) von f' nicht auskommt.

Gruß FRED

>  
> Wenn ich meine Definitionen entsprechend festlege, bin ich
> doch auf der sicheren Seite.
>  
>
> Lieben Gruß,
>  Fulla


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Bezug
Aufgabe zur Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:27 So 14.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> denn aus strenger Monotonie folgt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty[/mm]

um da auf Fulla einzugehen: [mm] $\arctan(x)$ [/mm] ist streng monoton steigend :-)

> Ich denke , dass man ohne die Stetigkeit (oder mindesten der R- Integrierbarkeit auf kompakten Intervallen) von f' nicht auskommt.


Annahme: $b>0$
Für $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < b$ beliebig sei [mm] x_0 [/mm] so gewählt, dass $f'(x) [mm] \in (b-\varepsilon,b+\varepsilon), [/mm] f(x) [mm] \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon) [/mm] $ für [mm] $x>x_0$ [/mm]

Dann Mittelwertsatz: Es gibt für alle [mm] x>x_0 [/mm] ein [mm] $\xi \in (x_0,x)$ [/mm] so dass: $f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(\xi)(x-x_0) \ge (a-\varepsilon) [/mm] + [mm] (b-\varepsilon)(x-x_0)$ [/mm]

D.h: $f(x) [mm] \ge (a-\varepsilon) [/mm] + [mm] (b-\varepsilon)(x-x_0)$ [/mm] mit [mm] $(b-\varepsilon) [/mm] > 0$

D.h. [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) [mm] \ge \lim_{x\to\infty} \left((a-\varepsilon) + (b-\varepsilon)(x-x_0)\right) [/mm] = [mm] \infty$ [/mm]

Widerspruch.

Wo hab ich jetzt, vielleicht unbewusst, die Stetigkeit von f' verwendet?
Der Mittelwertsatz braucht, soweit mir bewusst, nur Differenzierbarkeit, nicht notwendigerweise stetige Differenzierbarkeit.

edit: Ich dachte, der Weg wäre mit reverends Mitteilung gemeint gewesen, darum hab ich ihn nicht mehr gepostet ;-)

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 So 14.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hiho,
>  
> > denn aus strenger Monotonie folgt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty[/mm]
>  
> um da auf Fulla einzugehen: [mm]\arctan(x)[/mm] ist streng monoton
> steigend :-)
>  
> > Ich denke , dass man ohne die Stetigkeit (oder mindesten
> der R- Integrierbarkeit auf kompakten Intervallen) von f'
> nicht auskommt.
>  
>
> Annahme: [mm]b>0[/mm]
>  Für [mm]0 < \varepsilon < b[/mm] beliebig sei [mm]x_0[/mm] so gewählt,
> dass [mm]f'(x) \in (b-\varepsilon,b+\varepsilon), f(x) \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm]
> für [mm]x>x_0[/mm]
>  
> Dann Mittelwertsatz: Es gibt für alle [mm]x>x_0[/mm] ein [mm]\xi \in (x_0,x)[/mm]
> so dass: [mm]f(x) = f(x_0) + f'(\xi)(x-x_0) \ge (a-\varepsilon) + (b-\varepsilon)(x-x_0)[/mm]

hier brauchst Du eine minimale Modifikation, damit Du auch [mm] $f(x_0) \ge (a-\varepsilon)$ [/mm] benutzen kannst:

    $f(x) [mm] \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ [/mm] für $x [mm] \red{\,\ge\,} x_0\,.$ [/mm]

> D.h: [mm]f(x) \ge (a-\varepsilon) + (b-\varepsilon)(x-x_0)[/mm] mit
> [mm](b-\varepsilon) > 0[/mm]
>  
> D.h. [mm]\lim_{x\to\infty} f(x) \ge \lim_{x\to\infty} \left((a-\varepsilon) + (b-\varepsilon)(x-x_0)\right) = \infty[/mm]
>  
> Widerspruch.
>  
> Wo hab ich jetzt, vielleicht unbewusst, die Stetigkeit von
> f' verwendet?
>  Der Mittelwertsatz braucht, soweit mir bewusst, nur
> Differenzierbarkeit, nicht notwendigerweise stetige
> Differenzierbarkeit.

Soweit ich das gerade sehe, müßte das auch so klappen. Natürlich sollte
man noch irgendwo schreiben, dass bzw. warum es reicht, den Fall $b > [mm] 0\,$ [/mm]
zu betrachten.

P.S. Aus "didaktischer Sicht" würde ich persönlich hier etwas spezieller noch

    [mm] $\varepsilon:=b/2$ [/mm]

setzen, aber das ist nur Geschmackssache. Und rein vom Gefühl her wußte
ich anfangs auch nichts mit der Voraussetzung der Stetigkeit von [mm] $f\,'$ [/mm]
anzufangen - man kann sie aber gebrauchen, wenn man es so macht, wie
Fred und ich es gemacht haben, weil dann einfach der HDI mit ins Spiel
genommen werden kann!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:18 So 14.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hallo Marcel,

> hier brauchst Du eine minimale Modifikation, damit Du auch
> [mm]f(x_0) \ge (a-\varepsilon)[/mm] benutzen kannst:
>  
> [mm]f(x) \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm] für [mm]x \red{\,\ge\,} x_0\,.[/mm]

Jo, oder man verwendet die Stetigkeit von f' (sic!)

> Natürlich sollte  man noch irgendwo schreiben, dass bzw. warum es reicht, den Fall [mm]b > 0\,[/mm] zu betrachten.

Das überlasse ich dem Leser als Übung den Fall b<0 selbst zu betrachten ;-)
Allerdings steht ja schon in meiner vorherigen Mitteilung, dass dann halt [mm] $\lim_{x\to\infty} [/mm] f(x) = [mm] -\infty$ [/mm] herauskommt.

Gruß,
Gono.

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Bezug
Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 14.12.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Marcel,
>  
> > hier brauchst Du eine minimale Modifikation, damit Du auch
> > [mm]f(x_0) \ge (a-\varepsilon)[/mm] benutzen kannst:
>  >  
> > [mm]f(x) \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)[/mm] für [mm]x \red{\,\ge\,} x_0\,.[/mm]
>  
> Jo, oder man verwendet die Stetigkeit von f' (sic!)

häh? Die Stetigkeit von [mm] $f\,$ [/mm] vielleicht, aber selbst dann muss man ein wenig
aufpassen, jedenfalls, wenn ich es mir gedanklich gerade durchspiele.
Aber das sind eh nur *Feinheiten*!
  

> > Natürlich sollte  man noch irgendwo schreiben, dass bzw.
> warum es reicht, den Fall [mm]b > 0\,[/mm] zu betrachten.
>  
> Das überlasse ich dem Leser als Übung den Fall b<0 selbst
> zu betrachten ;-)
>  Allerdings steht ja schon in meiner vorherigen Mitteilung,
> dass dann halt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty[/mm]
> herauskommt.

Ich empfehle eher einer der Standard-Methoden: Anstatt [mm] $f\,$ [/mm] betrachte man
andernfalls halt [mm] $g:=\,-\,f$. [/mm] :-)

Gruß,
  Marcel

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Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 So 14.12.2014
Autor: Fulla


> Hiho,

>

> > denn aus strenger Monotonie folgt [mm]\lim_{x\to\infty} f(x)=\pm\infty[/mm]

>

> um da auf Fulla einzugehen: [mm]\arctan(x)[/mm] ist streng monoton
> steigend :-)

Hallo Gono,

es gilt doch aber [mm]\lim_{x\to\infty} \Big(\arctan(x)\Big)^\prime =0[/mm] und das habe ich bei meiner Annahme ausgeschlossen.
Ich hätte präzieser formulieren sollen: Aus der strengen Monotonie und [mm]\lim_{x\to\infty}f^\prime (x)=b\neq 0[/mm] folgt [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty[/mm].


Lieben Gruß,
Fulla

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Aufgabe zur Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:22 So 14.12.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich hätte präzieser formulieren sollen: Aus der strengen
> Monotonie und [mm]\lim_{x\to\infty}f^\prime (x)=b\neq 0[/mm] folgt
> [mm]\lim_{x\to\infty}f(x)=\pm\infty[/mm].

ja, das gilt es ja gerade bei dieser Aufgabe zu zeigen.
Und bei dir wirkte das so wie:

"Aufgabe: Zeige XY"
"Fulla: Na es gilt doch XY."

Gruß,
Gono

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