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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Bedingter Erwartungswert
Bedingter Erwartungswert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bedingter Erwartungswert: Normalverteilung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:40 So 01.10.2017
Autor: sandroid

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Aufgabe
Es seien $X, Y$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen.

Bestimme $\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]}$

Hallo,

ich habe leider große Schwierigkeiten beim bedingten Erwartungswert. Für diesen muss nach Definition gelten:

1) $\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]}$ ist $\sigma(X-Y)$-messbar.
2) $\forall M \in \sigma(X-Y): \int_{M}\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]}d\mathbb{P} = \int_{M}Xd\mathbb{P}$

Aber wie komm ich nun drauf? Gibt es einen Trick?

Intuitiv würde ich nun vermuten $\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]} = X-Y+\mathbb{E}[Y]$. Aber wie beweise ich das?



        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 So 01.10.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,


> ich habe leider große Schwierigkeiten beim bedingten
> Erwartungswert. Für diesen muss nach Definition gelten:
>  
> 1) [mm]\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]}[/mm] ist [mm]\sigma(X-Y)[/mm]-messbar.
>  2) [mm]\forall M \in \sigma(X-Y): \int_{M}\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]}d\mathbb{P} = \int_{M}Xd\mathbb{P}[/mm]

Mach dir mal klar,  dass du das mit $Z=E [mm] [X|\sigma(X-Y)]$ [/mm]  schreiben kannst als [mm] $E[Z1_M]=E[X1_M]$ [/mm]

> Aber wie komm ich nun drauf? Gibt es einen Trick?

Erfahrung und Formeln, die ihr bestimmt hattet.
In deinem Fall bietet sich das Ausrechnen mit Hilfe der bedingten Dichte an wie []hier unter Punkt (3) beschrieben.

> Intuitiv würde ich nun vermuten [mm]\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]} = X-Y+\mathbb{E}[Y][/mm].
> Aber wie beweise ich das?

Wenn du eine konkrete Idee hast oder nachweisen sollst,  dass etwas eine bedingte Erwartung ist,  musst du wohl oder übel die Eigenschaften nachrechnen.

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:21 So 01.10.2017
Autor: sandroid


Wie würde in diesem Fall das Nachrechnen der Definition funktionieren? Eigenschaft Nr. 1 sollte klar sein. Eigenschaft Nr. 2 nicht.

Wir hatten z.B. Linearität der bedingten Erwartung. Und noch einen Haufen anderer Eigenschaften. Nur leider gar keine guten Beispiele ):

OffTopic: Meine WT-Vorlesung ist leider sehr schlecht. Themen wurden kaum formal und ohne Tiefe behandelt, viele verwendete Aussagen flogen vom Himmel und so weiter. Die Klausur wird nach dem Motto sein: Auswendiglernen an, Verständnis aus. Es macht wirklich keinen Spaß.

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Bezug
Bedingter Erwartungswert: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 Di 03.10.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 So 01.10.2017
Autor: tobit09

Hallo sandroid!


> Intuitiv würde ich nun vermuten [mm]\mathbb{E}[X|\sigma(X-Y)]} = X-Y+\mathbb{E}[Y][/mm].

Beachte [mm] $\mathbb{E}[Y]=0$. [/mm]
Mit deiner Intuition liegst du zwar nicht ganz richtig, aber bis auf einen konstanten Faktor richtig. ;-)


Ich bin an die Aufgabe anders herangegangen als Gono und (nach längerem Überlegen) ohne explizite Verwendung der Definition des bedingten Erwartungswertes und ohne explizite Verwendung von Dichten ausgekommen.

Um nicht immer wieder $X-Y$ schreiben zu müssen, kürze ich diese Zufallsgröße im Folgenden mit $Z:=X-Y$ ab.
Ich schreibe es nicht immer wieder dazu, aber alle meine folgenden Gleichheiten sind P-fast-sicher gemeint.

Zwei Tipps:

1. [mm] $\mathbb{E}(X|\sigma(Z))=\mathbb{E}((X-Y)+Y|\sigma(Z))=\mathbb{E}(Z+Y|\sigma(Z))=\ldots$ [/mm]
2. Man kann (auf ganz verschiedene Arten) [mm] $\mathbb{E}(-Y|\sigma(Z))=\mathbb{E}(X|\sigma(Z))$ [/mm] zeigen.
(Anschaulich plausibel machen lässt sich dieser unter 2. genannte Zusammenhang durch eine Symmetrie-Überlegung.)


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:17 Mo 02.10.2017
Autor: sandroid


Sehr gut, vielen Dank!

Ich denke, diese Lösung ist auch die, worauf der Aufgabensteller hinaus möchte.



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Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:25 Mo 02.10.2017
Autor: luis52

Aehm, das ist mir etwas peinlich... [peinlich] Aber wie ist [mm] $\sigma(X-Y)$ [/mm] definiert?

Bezug
                                
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Mo 02.10.2017
Autor: tobit09

Hallo Luis,


[mm] $\sigma(X-Y)$ [/mm] bezeichnet die von der Zufallsgröße $X-Y$ erzeugte Sigma-Algebra, also

      [mm] $\sigma(X-Y)=\{\;(X-Y)^{-1}(B)\;|\;B\in\mathcal{B}\;\}$, [/mm]

wobei [mm] $\mathcal{B}$ [/mm] die Borelsche Sigma-Algebra auf [mm] $\IR$ [/mm] bezeichne.

[mm] $\sigma(X-Y)$ [/mm] ist die kleinste Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] auf [mm] $\Omega$, [/mm] bezüglich der $X-Y$ [mm] $\mathcal{A}$-$\mathcal{B}$-messbar [/mm] ist.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                                        
Bezug
Bedingter Erwartungswert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Mo 02.10.2017
Autor: luis52

Ah okay, Maßtheorie. Mein blinder Flecker. Da habe ich in der Uni immer geschwaenzt. :-)

Bezug
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