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Beweis: Beste Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 So 19.05.2013
Autor: Apfelchips

Aufgabe
Sei [mm]V[/mm] ein innerer Produktraum über einen Körper [mm]\IK[/mm] mit [mm]dim V < \infty[/mm] und sei [mm]U[/mm] ein Unterraum von [mm]V[/mm]. Sei [mm]pr_U : V \to U[/mm] die orthogonale Projektion von [mm]V[/mm] auf [mm]U[/mm].

Zeigen Sie, dass für [mm]v \in V[/mm] und [mm]u \in U[/mm] folgende Aussagen äquivalent sind:
a) [mm]u = pr_U(v)[/mm]
b) [mm] \left\Vert u-v \right\Vert[/mm] ist minimal



Hallo zusammen,

wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, dann ist hier zu beweisen, dass die orthogonale Projektion die beste Approximation des Vektors u ist. In meinem Mathe-Nachschlagewerk ist dazu angegeben, dass sich das mit Hilfe des Satzes von Pythogoras beweisen lässt.

Daraufhin habe ich mich dann einmal an den Beweis versucht. Reicht das so bereits aus (oder bin ich gar komplett auf dem Holzweg)?

zu zeigen: [mm]min \left\Vert u-v \right\Vert \iff u=pr_U(v)[/mm]

[mm] \left\Vert u-v \right\Vert^2 = \left\Vert u-pr_U(v) + pr_U(v) - v \right\Vert^2 = \left\Vert u-pr_U(v) \right\Vert^2 + \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2 \geq \left\Vert u-pr_U(v) \right\Vert^2[/mm]

Wenn nun [mm]u = pr_U(v)[/mm] gesetzt wird, dann wird die linke Seite dieser Ungleichung minimal – und das war zu zeigen.

Viele Grüße
Patrick

        
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 So 19.05.2013
Autor: wieschoo

Hi,

[mm]\left\Vert u-v \right\Vert^2 = \left\Vert u-pr_U(v) + pr_U(v) - v \right\Vert^2 = \left\Vert u-pr_U(v) \right\Vert^2 + \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2 \geq \left\Vert u-pr_U(v) \right\Vert^2[/mm]
>

> Wenn nun [mm]u = pr_U(v)[/mm] gesetzt wird, dann wird die linke
> Seite dieser Ungleichung minimal – und das war zu
> zeigen.

Soe wie es in Worten steht, ist es komisch formuliert. Du hast zwei Richtungen zu zeigen!

Wenn du [mm]u = pr_U(v)[/mm] einfach nur setzt, so hast du die Erkenntnis gewonnen, das [mm]\Vert u-v\Vert^2\ge 0[/mm] ist nach deinen Worten

Vielmehr musst du für a) [mm]\Rightarrow [/mm] b) zeigen:

                [mm]\Vert w-v\Vert \ge \Vert \operatorname{pr}_u(v) -v\Vert \quad \forall w\neq \operatorname{pr}_u(v)[/mm]

Du brauchst dafür andere Worte aber eine ähnliche Idee. Betrachten wir noch einmal

     [mm]\left\Vert w-v \right\Vert^2 = \left\Vert w-pr_U(v) + pr_U(v) - v \right\Vert^2 = \left\Vert w-pr_U(v) \right\Vert^2 + \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2 \geq \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2[/mm]

Somit gilt stets bereits da.
    
                      [mm]\left\Vert w-v \right\Vert^2 \geq \left\Vert pr_U(v)-v \right\Vert^2[/mm]


Was ist mit der anderen Richtung?


 

Bezug
                
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:46 Mo 20.05.2013
Autor: Apfelchips

Hallo wieschoo,

danke für Deine Antwort.

> Wenn du [mm]u = pr_U(v)[/mm] einfach nur setzt, so hast du die
> Erkenntnis gewonnen, das [mm]\Vert u-v\Vert^2\ge 0[/mm] ist nach
> deinen Worten

>

> Vielmehr musst du für a) [mm]\Rightarrow[/mm] b) zeigen:

>

>                 [mm]\Vert w-v\Vert \ge \Vert \operatorname{pr}_u(v) -v\Vert \quad \forall w\neq \operatorname{pr}_u(v)[/mm]

>

> Du brauchst dafür andere Worte aber eine ähnliche Idee.
> Betrachten wir noch einmal

>

>      [mm]\left\Vert w-v \right\Vert^2 = \left\Vert w-pr_U(v) + pr_U(v) - v \right\Vert^2 = \left\Vert w-pr_U(v) \right\Vert^2 + \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2 \geq \left\Vert pr_U(v) - v \right\Vert^2[/mm]

>

> Somit gilt stets bereits da.
>     
>                       [mm]\left\Vert w-v \right\Vert^2 \geq \left\Vert pr_U(v)-v \right\Vert^2[/mm]

>

Gut, das kann ich soweit nachvollziehen.


>

> Was ist mit der anderen Richtung?

>

Also "[mm] \left\Vert u-v \right\Vert[/mm] ist dann minimal, wenn [mm]u=pr_U(v)[/mm]"? Oder was ist da konkret zu zeigen?

Viele Grüße
​Patrick

Bezug
                        
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Mo 20.05.2013
Autor: wieschoo

Hi

>
>

> >
> > Was ist mit der anderen Richtung?
> >

>

> Also "[mm] \left\Vert u-v \right\Vert[/mm] ist dann minimal,
> wenn [mm]u=pr_U(v)[/mm]"? Oder was ist da konkret zu zeigen?

Du schriebst doch selber, dass du

               [mm] \min \left\Vert u-v \right\Vert \iff u=pr_U(v) [/mm]

Das sind zwei Richtungen.

Oben hatten wir, wenn [mm]u=\operatorname{pr}_U(v)[/mm], so ist [mm]\Vert u-v\Vert[/mm] minimal ([mm]\blue{\Leftarrow}[/mm]), da stets es kleiner als [mm]\Vert w-v\Vert[/mm] für alle [mm]w\neq \operatorname{pr}_u(v)[/mm]. Jetzt muss begründet werden warum umgekehrt aus [mm]\Vert u-v\Vert[/mm] minimal sofort folgt, dass [mm]u=\operatorname{pr}_U(v)[/mm] gelten muss. Das muss man wenigstens notieren. Auch wenn es wohlmöglich trivial ist.

>

> Viele Grüße
> ​Patrick

Bezug
                                
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:17 Mo 20.05.2013
Autor: Apfelchips

Hallo nochmal,

> Du schriebst doch selber, dass du

>

>                [mm] \min \left\Vert u-v \right\Vert \iff u=pr_U(v)[/mm]

>

> Das sind zwei Richtungen.

ja, zweifelsfrei. ;-)

> Oben hatten wir, wenn [mm]u=\operatorname{pr}_U(v)[/mm], so ist
> [mm]\Vert u-v\Vert[/mm] minimal ([mm]\blue{\Leftarrow}[/mm]), da stets es
> kleiner als [mm]\Vert w-v\Vert[/mm] für alle [mm]w\neq \operatorname{pr}_u(v)[/mm].
> Jetzt muss begründet werden warum umgekehrt aus [mm]\Vert u-v\Vert[/mm] minimal
> sofort folgt, dass [mm]u=\operatorname{pr}_U(v)[/mm] gelten muss.
> Das muss man wenigstens notieren. Auch wenn es wohlmöglich
> trivial ist.

Ich verstehe leider nicht, wie ich das notieren soll. Hast Du da einen Anfang für mich?

Viele Grüße
​Patrick

Bezug
                                        
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:32 Mo 20.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

wie habt ihr [mm] $pr_U(v)$ [/mm] definiert?

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:58 Mo 20.05.2013
Autor: Apfelchips

Hallo Marcel,

> wie habt ihr [mm]pr_U(v)[/mm] definiert?

Sei [mm](u_1, ..., u_m)[/mm] ein Orthonormalsystem und [mm]U := < u_1, ..., u_m >[/mm] der davon aufgespannte Unterraum.
Dann ist 

[mm]pr_U: V \to U[/mm]

[mm]v \mapsto \sum_{i=1}^{m} u_i[/mm]

die orthogonale Projektion auf U.

Gruß
Patrick

Bezug
                                        
Bezug
Beweis: Beste Approximation: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Mi 22.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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