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Beweis DGL: Beweis, Schritt erklären
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:42 So 09.10.2016
Autor: Lohrre

Aufgabe
Sei f: J x [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig und beschränkt mit [mm] J:=[\xi [/mm] , [mm] \xi [/mm] + [mm] \alpha] [/mm] Dann existiert eine Lösung der Anfangswertaufgabe y'=f(x,y) [mm] ,y(\xi)=\eta. [/mm]



Hallo

Beim Beweis des Satzes habe ich Verständnisprobleme.
Man versucht zu einer Lösung y(x)= [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t,y(t) dt} [/mm] zu kommen, weil ja der Fixpunkt eine Lösung der Anfangswertaufgabe ist.

Dazu konstuiert man sich eine Näherungslösung: [mm] \alpha [/mm] >0 und

[mm] z_{\alpha}(x) =\begin{cases} \eta, & \mbox{für } x \mbox{kleiner gleich xi} \\ \eta +\integral_{\xi}^{x}{f(t,z_{\alpha}(t- \alpha) dx}, & \mbox{für } x \mbox{ in J} \end{cases} [/mm]


Die Fkt. [mm] z_\alpha [/mm] ist wohldefiniert, denn für [mm] \xi \le [/mm] x [mm] \le \xi [/mm] + [mm] \alpha [/mm] ist [mm] z_{\alpha} [/mm] (x-  [mm] \alpha) [/mm] = [mm] \eta, [/mm] also [mm] z_\alpha [/mm] (x) = [mm] \eta [/mm] + [mm] \integral_{\xi}^{x}{f(t, \eta) dx} [/mm] (*)

Für [mm] \xi [/mm] + [mm] \alpha \le [/mm] x [mm] \le \xi [/mm] + 2 [mm] \alpha [/mm] ist [mm] z_{\alpha} [/mm] (x-  [mm] \alpha) [/mm] gemäß (*) zu berechnen, usw..

Dann zeigt man, dass [mm] z_\alpha [/mm] stetig, sogar stetig differenzierbar ist (das lass ich jetzt aus)

Dann zeigt man, dass die Menge M= [mm] \{z_\alpha |J : \alpha >0 \} [/mm] gleichgradig stetig ist (das lass ich auch aus)

Dann komme ich zum Punkt, wo ich nicht mehr ganz mitkomme & meine eigentliche Frage ist:

Die [mm] Folge{z_{\bruch{1}{n} |J (x)}} [/mm] besitzt eine glm konvergente Teilfolge [mm] {z_\alpha_n} [/mm] mit [mm] \alpha_n \to [/mm] 0. (Beruht auf Arzela Asculi Satz)

Dei Grenzfunktion ist stetig, wegen [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x-  [mm] \alpha_n) [/mm] - y(x)| [mm] \le |z_{\alpha_n} [/mm] (x-  [mm] \alpha_n) [/mm] - [mm] z_\alpha_n [/mm] (x| + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| = | [mm] \eta +\integral_{\xi}^{x+ \alpha_n}{f(t,z_{\alpha_n}(t- \alpha_n) dt}| [/mm]  + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| [mm] \le C_\alpha_n [/mm]   + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)|
Also konvergiert auch [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] gleichmäßig gegen y.

Hier kommen meine Fragen: Bei der letzten Ungleichung fügt man im ersten Schritt [mm] z_alpha_n [/mm] (x) hinzu und weg und nutzt dann die Dreiecksungleichung.
Der letzte Schritt  .... [mm] \le \le C_\alpha_n [/mm]   + [mm] |z_{\alpha_n} [/mm] (x) - y(x)| kommt dadurch, weil wir vorhin gleichgrade stetigkeit gezeigt haben, weil f ja beschränkt ist.
Aber warum " Also konvergiert auch [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] gleichmäßig gegen y" was ist in dem Fall überhaupt y?
Und warum zeigt, dass das [mm] z_\alpha [/mm] (x- [mm] \alpha_n) [/mm] glm. gegen y konvergiert?

Vielen Dank für alle, die sich die Zeit nehmen,

lg





        
Bezug
Beweis DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:00 Mo 10.10.2016
Autor: fred97

Eine Vorbemerkung: Du hast den obigen Beweis des Satzes von Peano fehlerhaft und lückenhaft aufgeschrieben. Wenn ich den Beweis dieses Satzes nicht sehr gut kennen würde , hätte ich keine Lust gehabt, Dir zu helfen !



1. In obigem Beweis fehlt etwas. Nämlich: wegen $|f| [mm] \le [/mm] C$ auf $J [mm] \times \IR$ [/mm] und der Def. von [mm] z_{\alpha} [/mm] ist $ | [mm] z_{\alpha}'| \le [/mm] C$ und damit hat man mit dem Mittelwertsatz

  $ | [mm] z_{\alpha}(u)- z_{\alpha}(v)| \le [/mm] C|u-v|.$

2. y ist der gleichmäßige Limes der Folge  [mm] (z_{\alpha_n}) [/mm]

3. Aus der Ungleichung

$ [mm] |z_{\alpha_n}(x [/mm] - [mm] \alpha_n)-y(x)| \le C*\alpha_n+|z_{\alpha_n}(x)-y(x)|$ [/mm]

und aus [mm] \alpha_n \to [/mm] 0 und der glm. Konvergenz von [mm] (z_{\alpha_n}) [/mm]  gegen y folgt die glm. Konvergenz von [mm] $(z_{\alpha_n}(x [/mm] - [mm] \alpha_n)) [/mm] $ gegen y.

Bezug
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