Beweis Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:07 Mi 07.04.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Beweisen SIe, dass für alle natürlichen Zahlen gilt: [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{2^i} [/mm] tan [mm] \bruch{x}{2^i}= \bruch{1}{2^n} [/mm] cot [mm] \bruch{x}{2^n}- [/mm] cotx, x [mm] \not=m\pi, m\in \IZ, x\in \IR. [/mm] |
Hallo, also ich habe obige summe einfach mal ausgeschrieben zu
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] tan [mm] \bruch{x}{2}+ \bruch{1}{4} [/mm] tan [mm] \bruch{x}{4} [/mm] + [mm] \bruch{1}{8} [/mm] tan [mm] \bruch{x}{8} [/mm] +.....+ [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] tan [mm] \bruch{x}{2^n}=......
[/mm]
hier sehe ich leider noch nichts, was ich kürzen könnte oder so.
außerdem weiß ich ja: cot(x)= [mm] \bruch{1}{tan(x)}. [/mm] das muss man ja sicher anwenden, um auf die behauptung zu kommen, schreibe ich obige summe so um, dann weiß ich aber genauso wenig, wie ich weiter umformen sollte!
herzlichen dank schon einmal für jeden tipp etc!
grüße, gigi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 07.04.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
Auf den ersten Blick schreit das ja nach vollständiger Induktion, und der Induktionsanfang stimmt auch schon mal.
Ich versuch dann gelegentlich und nebenbei n [mm] \to [/mm] n+1.
Nachtrag: Das funzt!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 07.04.2010 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Konvergiert die summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n}tan \bruch{x}{2^n}und [/mm] ist die konvergenz gleichmäßig? |
na klar, bei summen geht die induktion immer super! habs auch tatsächlich hingekriegt!
nun kommt eine weitere teilaufgabe hinzu: Konvergiert die summe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n}tan \bruch{x}{2^n}und [/mm] ist die konvergenz gleichmäßig?
Hier ist es sicher sinnvoll, das unter a) bewiesene einfach anzuwenden. jedoch bin ich mir auch bei dem ausdruck unsicher, wie ich konvergenz zeige, ich dachte mir: [mm] \bruch{1}{2^n} [/mm] ist ja eine nullfolge, cotx ist eine konstante und wenn cot [mm] \bruch{x}{2^n} [/mm] eine beschränkte folge ist, dann habe ich [mm] nullfolge\*beschränkte [/mm] folge-konstante=nullfolge. und damit ist die summe konvergent. aber stimmt das mit der beschränkten folge und wie zeige ich es?
und dann steht noch immer die gleichmäßige kvg aus, da weiß ich gar nicht, wie man es überprüft!
besten dank für jede hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mi 07.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Konvergiert die summe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n}tan \bruch{x}{2^n}und[/mm]
> ist die konvergenz gleichmäßig?
> na klar, bei summen geht die induktion immer super! habs
> auch tatsächlich hingekriegt!
> nun kommt eine weitere teilaufgabe hinzu: Konvergiert die
> summe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{2^n}tan \bruch{x}{2^n}und[/mm]
> ist die konvergenz gleichmäßig?
>
> Hier ist es sicher sinnvoll, das unter a) bewiesene einfach
> anzuwenden. jedoch bin ich mir auch bei dem ausdruck
> unsicher, wie ich konvergenz zeige, ich dachte mir:
> [mm]\bruch{1}{2^n}[/mm] ist ja eine nullfolge, cotx ist eine
> konstante und wenn cot [mm]\bruch{x}{2^n}[/mm] eine beschränkte
> folge ist, dann habe ich [mm]nullfolge\*beschränkte[/mm]
> folge-konstante=nullfolge. und damit ist die summe
> konvergent. aber stimmt das mit der beschränkten folge und
> wie zeige ich es?
cot(z) ist für z [mm] \to [/mm] 0 sicher nicht beschränkt, so geht es also nicht.
> und dann steht noch immer die gleichmäßige kvg aus, da
> weiß ich gar nicht, wie man es überprüft!
Ich bin jetzt für länger offline, deswegen lasse ich die Frage mal halboffen.
Ciao
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo gigi,
das Problem Deiner Argumentation ist, dass zwar [mm] $\frac{1}{2^n}$ [/mm] eine Nullfolge und [mm] $\cot [/mm] x$ konstant (also unabhängig von $n$), aber [mm] $\cot \frac{x}{2^n}$ [/mm] unbeschränkt ist (siehe Antwort von statler).
Vergleiche mal den Ausdruck [mm] $\frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n}$ [/mm] mit dem Ausdruck [mm] $\cot [/mm] x$ für kleine $|x|$. Interessant sind die Stellen $x$ mit $x [mm] \in \pi\mathbb{Z}$.
[/mm]
Auf welchen Mengen gleichmäßige Konvergenz vorliegt oder nicht, kann hier mit dem Cauchy-Kriterium untersucht werden. (Hinweis: Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Teilsummen ist ein einfacher Tangens-Term!)
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Do 08.04.2010 | | Autor: | gigi |
> Vergleiche mal den Ausdruck [mm]\frac{1}{2^n} \cot \frac{x}{2^n}[/mm]
> mit dem Ausdruck [mm]\cot x[/mm] für kleine [mm]|x|[/mm]. Interessant sind
> die Stellen [mm]x[/mm] mit [mm]x \in \pi\mathbb{Z}[/mm].
die werte sind für kleine x fast identisch, bei vielfachen von [mm] \pi [/mm] ebenfalls (wo ist da die besonderheit?)
> Auf welchen Mengen
> gleichmäßige Konvergenz vorliegt oder nicht, kann hier
> mit dem Cauchy-Kriterium untersucht werden. (Hinweis: Die
> Differenz zweier aufeinanderfolgender Teilsummen ist ein
> einfacher Tangens-Term!)
> Gruß mathfunnel
>
wie geht das? ich verstehe nicht, wie ich auf den tangensterm komme?
danke und grüße
|
|
|
| |
|
Hallo gigi,
also das Besondere liegt in der stetigen Fortsetzbarkeit der Grenzfunktion
[mm] $\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}\tan(\frac{x}{2^i}) [/mm] = [mm] lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n}) [/mm] - cot(x)$ an der Stelle $x = 0$
(die rechte Seite dieser Gleichung ist an den Stellen $x = [mm] kn\pi$ [/mm] für $k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] nicht definiert, die linke Seite ist an den Stellen $x = [mm] 2^{i}(k\pi [/mm] + [mm] \frac{\pi}{2})$ [/mm] nicht definiert.
Die Funktionen [mm] $g_n(x) [/mm] := [mm] \frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n})$ [/mm] und $cot(x)$ sind in einer Umbegung von $0$ beide unbeschränkt.
Allerdings gilt beispielsweise für $x = [mm] \pi$: [/mm] $ [mm] g_1(x) [/mm] = 0$ und $ [mm] g_2(x) \approx [/mm] 0,25$ und $ [mm] g_3(x) \approx [/mm] 3$ und $ [mm] g_8(x) \approx [/mm] 3,2$. Die [mm] $g_n(x)$ [/mm] und $cot(x)$ verhalten sich i.Allg. an $x=0$ also ähnlich, an $x = [mm] k\pi \neq [/mm] 0$ im Allg. aber völlig anders.
Nun zum Cauchy-Kriterium (bitte nachschlagen): Grob gesprochen muss für glm. Konvergenz die Differenz
zweier Reihenglieder, die "'sehr weit hinten stehen"', unabhängig von $x$ beliebig klein werden.
Hier ist aber die Differenz für die Teilsummen bis $i+1$ bzw. $i$ gleich [mm] $\frac{1}{2^{i+1}}\tan(\frac{x}{2^{i+1}})$. [/mm] Die ist nicht unabhängig von $x$. Wird sie unabhängig von $x$ beliebig klein?
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Do 08.04.2010 | | Autor: | gigi |
> Hallo gigi,
> also das Besondere liegt in der stetigen Fortsetzbarkeit
> der Grenzfunktion
> [mm]\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}\tan(\frac{x}{2^i}) = lim_{n\rightarrow\infty}\; \frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n}) - cot(x)[/mm]
> an der Stelle [mm]x = 0[/mm]
> (die rechte Seite dieser Gleichung ist an den Stellen [mm]x = kn\pi[/mm]
> für [mm]k \in \mathbb{Z}[/mm] nicht definiert, die linke Seite ist
> an den Stellen [mm]x = 2^{i}(k\pi + \frac{\pi}{2})[/mm] nicht
> definiert.
> Die Funktionen [mm]g_n(x) := \frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n})[/mm]
> und [mm]cot(x)[/mm] sind in einer Umbegung von [mm]0[/mm] beide
> unbeschränkt.
> Allerdings gilt beispielsweise für [mm]x = \pi[/mm]: [mm]g_1(x) = 0[/mm]
> und [mm]g_2(x) \approx 0,25[/mm] und [mm]g_3(x) \approx 3[/mm] und [mm]g_8(x) \approx 3,2[/mm].
> Die [mm]g_n(x)[/mm] und [mm]cot(x)[/mm] verhalten sich i.Allg. an [mm]x=0[/mm] also
> ähnlich, an [mm]x = k\pi \neq 0[/mm] im Allg. aber völlig anders.
und was folgern wir daruas nun für die konvergenz?
> Nun zum Cauchy-Kriterium (bitte nachschlagen): Grob
> gesprochen muss für glm. Konvergenz die Differenz
> zweier Reihenglieder, die "'sehr weit hinten stehen"',
> unabhängig von [mm]x[/mm] beliebig klein werden.
> Hier ist aber die Differenz für die Teilsummen bis [mm]i+1[/mm]
> bzw. [mm]i[/mm] gleich [mm]\frac{1}{2^{i+1}}\tan(\frac{x}{2^{i+1}})[/mm]. Die
> ist nicht unabhängig von [mm]x[/mm]. Wird sie unabhängig von [mm]x[/mm]
> beliebig klein?
also ist es nun egal, ob die differnez von x abhängt oder nicht?? wenn ich das x festhalte, so geht die differenz gegen 0.
>
> Gruß mathfunnel
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo gigi,
$f(x) = [mm] \sum_{i=1}^\infty f_i(x)$ [/mm] mit [mm] $f_i(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{2^i}\tan(\frac{x}{2^i})$ [/mm] ist punktweise aber nicht gleichmäßig konvergent auf [mm] $\mathbb{R} \backslash \pi \mathbb{Z}$. [/mm] Beweisskizze: Nach dem Cauchy-Kriterium muss gezeigt werden, dass zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $N_\epsilon$ [/mm] existiert, so dass für alle $n > m > [mm] N_\epsilon$ [/mm] gilt: [mm] $|\sum_{i = m+1}^n f_i(x)| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Also: [mm] $|\frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n})-\frac{1}{2^m}\cot(\frac{x}{2^m})| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm] Suchen wir also [mm] $N_\epsilon$. [/mm] Wir können [mm] $N_\epsilon$ [/mm] so wählen, dass sich [mm] $\frac{1}{2^n}\cot(\frac{x}{2^n})$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{2^m}\cot(\frac{x}{2^m})$ [/mm] sehr wenig von $cot(x)$ und somit voneineander unterscheiden.
Die einzige Bedingung ist, dass [mm] $\frac{x}{2^n}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{x}{2^m}$ [/mm] nahe genug bei $0$ liegen.
Das wiederum erreicht man durch die von $x$ und [mm] $\epsilon$ [/mm] abhähngige Wahl von [mm] $N_\epsilon$. [/mm]
Ich hoffe, dass Du jetzt ein [mm] $N_\epsilon$ [/mm] findest.
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 12.04.2010 | | Autor: | gigi |
nein, leider habe ich noch nirgends gesehen, wie man das cauchy-kriterium anwendet und einen startwert findet, ab welchem der abstand der einzelnen folgeglieder ganz klein ist. wie oder was muss man denn rechnen und umformen, um das [mm] N_0 [/mm] zu finden?
gruß und danke
|
|
|
| |
|
Hallo gigi,
sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Wir benutzen die Stetigkeit von [mm] $\tan(x)$ [/mm] an der Stelle $x= 0$, die Monotonie von [mm] $\tan(x)$ [/mm] in [mm] $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ [/mm] und die Konvergenz der geometrischen Reihe.
An diesen Eigenschaften erkennt man die Existenz eines [mm] $N_\varepsilon(x)$, [/mm] so dass
[mm] $|\sum_{i=m+1}^n \frac{1}{2^i}\tan(\frac{x}{2^i})| [/mm] < [mm] |\tan(\frac{x}{2^{m+1}}) \sum_{i=m+1}^n \frac{1}{2^i}| [/mm] < [mm] \varepsilon$, [/mm] sofern $n > m > [mm] N_\varepsilon(x)$. [/mm] Man kann jetzt auch leicht ein spezielles [mm]N_\varepsilon(x)[/mm] angeben, indem man es aus entsprechenden Ungleichungen berechnet.
Gruß mathfunnel
|
|
|
|
