Beweis Stetigkeit fg stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Do 31.05.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | f: X -> [mm] R^n [/mm] und g : X -> [mm] R^n [/mm] sind stetig an der Stelle [mm] x_\infty. [/mm] Sei
h(x) := f(x)*g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Beweisen Sie, dass h ebenfalls an der Stelle [mm] x_\infty [/mm] stetig ist. |
Hoi.
Also per Definition gilt dann doch erst einmal
[mm] $x_\infty [/mm] = [mm] f(\lim_{n \ to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} f(x_n)$
[/mm]
[mm] $x_\infty [/mm] = [mm] g(\lim_{n \ to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} g(x_n)$
[/mm]
Der Beweis
[mm] $\lim h(x_n) [/mm] = [mm] \lim f(x_n) [/mm] * [mm] \lim g(x_n) [/mm] = [mm] \lim (f(x_n)*g(x_n)) [/mm] = [mm] x_\infty*x_\infty [/mm] = [mm] x_\infty^2$
[/mm]
[mm] \lim [/mm] kurz für [mm] \lim_{n \to \infty}
[/mm]
Das ist aber bestimmt falsch.
Gruß, Wehm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Do 31.05.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
eine Funktion heißt stetig in a, falls lim f(x) = f(a) für x gegen a. (Nicht lim f(x)=x!!!)
Wenn du das in deiner Beweisführung verbesserst, ist es richtig, nach den Grenzwertsetzten. Du musst nur sagen, dass [mm] x_{n} [/mm] dabei gegen a geht.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | f: X -> [mm] R^n [/mm] und g : X -> [mm] R^n [/mm] sind stetig an der Stelle [mm] x_\infty. [/mm] Sei
h(x) := f(x)*g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Beweisen Sie, dass h ebenfalls an der Stelle [mm] x_\infty [/mm] stetig ist. |
Hoi.
> Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Nein noch nicht ganz
Es heißt jetzt also
$a = [mm] f(\lim_{n \to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} f(x_n)$ [/mm]
$b = [mm] g(\lim_{n \ to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} g(x_n)$ [/mm]
Und damit
[mm] $\lim h(x_n) [/mm] = [mm] \lim f(x_n) [/mm] * [mm] \lim g(x_n) [/mm] = [mm] \lim (f(x_n)*g(x_n)) [/mm] = a*b$
Wieder [mm] \lim [/mm] kurz für [mm] \lim_{n \to \infty} [/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Fr 01.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst nachsehen, wie ihr die Stetigkeit für [mm] x_{\infinity} [/mm] definiert habt. i.A. muss es keinen endlichen GW .für [mm] f(x_n) [/mm] geben, dann kannst du so nicht argumentieren.
Auch die def. der Stetigkeit wenn das für [mm] x_0 [/mm] gälte hast du nur sehr ungenau benutzt. wenn auch nicht direkt falsch.
Ich glaube nicht, dass der Beweis so anerkannt ist. Irgendwo muss stehen f in [mm] x_{\infinity} [/mm] stetig wenn gilt:...
dasselbe für g und dann meusst du für f*g argumentieren und dabei die Eigenschaften von f und g für [mm] x_{\infinity} [/mm] benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Fr 01.06.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | f: X -> [mm] R^n [/mm] und g : X -> [mm] R^n [/mm] sind stetig an der Stelle [mm] x_\infty. [/mm] Sei
h(x) := f(x)*g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X
Beweisen Sie, dass h ebenfalls an der Stelle [mm] x_\infty [/mm] stetig ist |
Hallo
Stetigkeit haben wir so definiert
[mm] \lim_{x \to a} [/mm] f(x) = f(a)
Dann f(x) stetig im Punkt a.
> Ich glaube nicht, dass der Beweis so anerkannt ist.
> Irgendwo muss stehen f in [mm]x_{\infinity}[/mm] stetig wenn
Demnach würde ich meinen Versuch wie folgt ergänzen
Ist f stetig im Punkt [mm] x_\infty [/mm] und konvergiert gegen den Punkt a, so gilt
$a = [mm] f(\lim_{n \to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} f(x_n)$ [/mm]
Ist g stetig im Punkt [mm] x_\infty [/mm] und konvergiert gegen den Punkt b, so gilt
$b = [mm] g(\lim_{n \ to \infty} x_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} g(x_n)$ [/mm]
Und damit ergibt sich für das Produkt beider Funktionen nach den Grenzwertsätzen
[mm] $\lim h(x_n) [/mm] = [mm] \lim f(x_n) [/mm] * [mm] \lim g(x_n) [/mm] = [mm] \lim (f(x_n)*g(x_n)) [/mm] = a*b$
Aber irgendwie glaube ich, du wolltest mir sagen das das komplett falsch ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Fr 01.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was ist das X was nach [mm] R^n [/mm] abgebildet wird? ist [mm] X\subset R^n [/mm] oder was?
2. Habt ihr keine Definition der Stetigkeit in [mm] \infty [/mm] extra definiert? f(x)=x kann man als stetig in [mm] x_{\infty} [/mm] definieren aber etwa sinx nicht! beide sind aber für endliche x stetig!
3. Deine Stetigkeitsdefinition scheint mir was dürftig. i.A. sagt man wenn f(a)=A und und für BELIEBIGE Folgen [mm] x_n [/mm] mit [mm] limx_n=a [/mm] gilt [mm] limf(x_n)=A [/mm] dann ist f stetig in a. gilt aber für a endlich.
sieh doch wirklich nochmal genau nach, ob und wie ihr Stetigkeit in unendlich def. habt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:30 Sa 02.06.2007 | | Autor: | Wehm |
Hallo
> 1. was ist das X was nach [mm]R^n[/mm] abgebildet wird? ist
> [mm]X\subset R^n[/mm] oder was?
X ist bei uns immer ein metrischer Raum. Das macht hier doch auch Sinn?
> 2. Habt ihr keine Definition der Stetigkeit in [mm]\infty[/mm]
> extra definiert?
> 3. Deine Stetigkeitsdefinition scheint mir was dürftig.
> i.A. sagt man wenn f(a)=A und und für BELIEBIGE Folgen [mm]x_n[/mm]
> mit [mm]limx_n=a[/mm] gilt [mm]limf(x_n)=A[/mm] dann ist f stetig in a. gilt
> aber für a endlich.
Genau so haben wir das auch
> sieh doch wirklich nochmal genau nach, ob und wie ihr
> Stetigkeit in unendlich def. habt.
Nö haben wir nicht. Vielleicht kannst du mir ja grob sagen wie diese Definition aussieht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Sa 02.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Eine Umgebung von Unendlich ist definiert als menge aller x mit x>R, die Umgebung wird kleiner, wenn R größer wird.
2. ein fkt ist bei [mm] x_{infty} [/mm] stetig, wenn zu jeder beliebigen Folge [mm] x_n [/mm] mit [mm] limx_n=/infty [/mm] gilt [mm] limf(x_n)=a
[/mm]
wenn [mm] limf(x_n)=\infty [/mm] betrachtet man die Funktion 1/f(x)
und [mm] lim(1/f(x_n))=b
[/mm]
Du musst aber aufpassen: etwa [mm] f:R^2==>R^2 [/mm] f(x1,x2)=x1*x2 ist in [mm] \infty [/mm] NICHT STETIG. Die Folge [mm] (x1_n,0) [/mm] etwa lim [mm] f(x_n)=0
[/mm]
andere Folgen gehen gegen [mm] \infty [/mm] , oder beliebige andere Werte.
Gruss leduart
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