Beweis einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie folgende Ungleichung für n [mm] \in \IN [/mm] und [mm] x\in\IR+ [/mm] (mit 0)
[mm] $(1+x)^{n} \ge 1+nx+0,5n(n-1)x^{2}$
[/mm]
Ist die Ungleichung für x=-1 / 2 auch noch für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit 0 richtig? |
Hallo,
Mein Ansatz:
Mit x=-1 => [mm] (1+(-1))^{n} \ge 1+n(-1)+0,5n(n-1)(-1)^{2}
[/mm]
=> [mm] 0^{n} \ge 1-1,5n+0,5n^{2}
[/mm]
Die linke Seite ist für alle n [mm] \in \IN [/mm] (\ {0}) stets 0, in diesem Sonderfall 1
Mit n=0 führt das zu 1 [mm] \ge [/mm] 1 was stimmt
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] \ {0} muss also gelten :
[mm] 1+0,5n^{2}-1,5n \le [/mm] 0
bei n=3 geht die Ungleichung schon nicht mehr auf, also ist die Ungleichung für x=-1 falsch
Bei x=2 :
[mm] (1+2)^{n} \ge 1+2n+0,5n(n-1)2^{2}
[/mm]
[mm] 3^{n} \ge 1+2n^{2}
[/mm]
Weiter weiß ich aber nicht :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:37 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo barischtoteles!
> Mein Ansatz:
> Mit x=-1 => [mm](1+(-1))^{n} \ge 1+n(-1)+0,5n(n-1)(-1)^{2}[/mm]
Warum setzt Du $x \ = \ -1$ ein? Es gilt doch [mm] $x\in\IR^+_0$ [/mm] , also $x \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ .
> Bei x=2 :
> [mm](1+2)^{n} \ge 1+2n+0,5n(n-1)2^{2}[/mm]
> [mm]3^{n} \ge 1+2n^{2}[/mm]
Wieviele x-Werte willst Du denn noch einsetzen?
Das wird ja dann ein langes Wochenende ... 
Hier ist wohl viel eher ein Beweils mittels vollständiger Induktion angedacht.
Gruß
Loddar
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Du hast die letzte Zeile nicht gelesen.
Aber für einen allgemeinen Beweis mit der gegebenen menge fehlt mir der Ansatz
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:03 Sa 02.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Welche letzte Zeile?
Ach, das soll heißen: $x \ = \ -1$ oder $x \ = \ 2$ und nicht $x \ = \ [mm] -\tfrac{1}{2}$ [/mm] ?
Sehr schlampig geschrieben.
Und zu dem anderen habe ich Dir einen Ansatz geliefert.
Gruß
Loddar
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Tut mir leid genau so steht das auf meinem Blatt. x=-1/2 , Brüche sind als solche dargestellt, deshalb gehe ich davon aus, dass 2 Werte gemeint sind.
Weißt du nun wie ich weiter machen muss? Das einsetzen ist ja soweit richtig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 02.11.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Tut mir leid genau so steht das auf meinem Blatt. x=-1/2 ,
> Brüche sind als solche dargestellt, deshalb gehe ich davon
> aus, dass 2 Werte gemeint sind.
Dann schreib das doch Verständlich. Das ist der derst Minischritt zum Verständnis.
> Weißt du nun wie ich weiter machen muss? Das einsetzen ist
> ja soweit richtig
Das Zauberwort heisst hier "Vollständige Induktion" nach n, die Variable x behandele dabei als Parameter.
Marius
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Demnach muss gelten:
[mm] (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x+0,5(n+1)((n+1)-1)x^{2}
[/mm]
Noch ein Denkanstoß bitte, Induktion ist noch weniger mein Fall
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> Demnach muss gelten:
>
> [mm](1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x+0,5(n+1)((n+1)-1)x^{2}[/mm]
>
> Noch ein Denkanstoß bitte, Induktion ist noch weniger mein
> Fall
Hallo,
diesen Zustand solltest Du unbedingt beenden. Die Tatsache, daß Dir solche Aufgaben gestellt werden, zeigt, daß man von Dir erwartet, daß Du Dir diese Technik erarbeitest.
In eine vollständige Induktion platzt man nicht an irgendeiner Stelle des Beweises hinein.
Man schreibt alles fein säuberlich auf - umso gründlicher und sauberer, je überforderter man ist.
Alles - das ist
- die zu zeigende Behauptung
- der Induktionsanfang
- die Induktionsvoraussetzung
- im Induktionsschluß die Formulierung dessen, was hier unter welcher Voraussetzung zu zeigen ist,
- und schließlich zeigst Du's dann unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung.
Und wenn Du das dann alles mindestens bis zum 4. Punkt dastehen hast, können wir weiterreden.
Die Frage nach [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] stelle erstmal zurück,
bearbeite die Aufgabe also für [mm] x\in \IR_0^{+}.
[/mm]
LG Angela
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Induktion allgemein kann ich mehr oder minder, mit Ungleichungen kennen ich das jedoch nicht
Probieren wir es:
Die induktionshypothese ist:
Es gelte [mm] (1+x)^{n} \ge 1+nx+0,5n(n-1)x^{2} [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit 0 und alle x [mm] \in \IR+ [/mm] mit 0
Der Induktionsanfang mit n=0 und x=0 geht auf
1 [mm] \ge [/mm] 1
Die Induktionsvorraussetzung:
[mm] (1+x)^{n+1} \ge 1+(n+1)x+0,5(n+1)((n+1)-1)x^{2}
[/mm]
Was ich jetzt machen soll weiß ich wirklich nicht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 03.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. keine Induktion über x, nur bekann dass [mm] x\ge0
[/mm]
2. die Induktionsvors, schribt man eigentlich immer fpr n, nicht für n+1
also schreib sie mal richtig hin.
irgendwo vermerkst du , was du daraus dann für n+1 folgern willst. Dann benutz die Ind. Vors und mache Schritte, um zum Ziel zu kommen, Z:B kanndt due die Ind, vors mal mit (1+x) multipliziern.
Wenn du mit dem gegebenen nicht was "rumspielst" sondern es einfach nur anstarrst kommst du nie weiter. In der zeit, um den post zu schreiben hättest du doch schon mal ne Weile rumprobieren können?
Es gibt nichts Gutes außer man tut es!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 So 03.11.2013 | | Autor: | fred97 |
Verwende den Binomialsatz:
[mm] (1+x)^n =\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}x^k
[/mm]
Für x [mm] \ge [/mm] 0 sind in der Summe rechts alle Summanden [mm] \ge [/mm] 0, also:
(*) [mm] (1+x)^n \ge \summe_{k=0}^{2}\vektor{n \\ k}x^k
[/mm]
rechne die rechte Seite von (*) mal aus !
FRED
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