matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenBild und Kern berechen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Abbildungen" - Bild und Kern berechen
Bild und Kern berechen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bild und Kern berechen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 20.12.2018
Autor: susannee

Aufgabe
Gegeben sei die folgende lineare Abbildung:
L: [mm] R_{\le2} \to R_{\le2}; ax^2+bx+c \to (a+b)x^2+a-b. [/mm]
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] L_B [/mm] von L bzgl. der Basis
      B = [mm] {x^2+1,-2x,x-1}. [/mm]
(b) Bestimmen Sie Bild [mm] (L_B), [/mm] Bild(L) und dim(Bild(L))

Meine erste Frage wäre, ob meine Lösung so stimmt. Die zweite Frage kommt zum Schluss.

(a) Ich überspringe hier einmal die Rechnerei zum bilden von [mm] L_B. [/mm]

[mm] L_B [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1/2 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 }. [/mm]

Nun bringe ich [mm] L_B [/mm] auf NZSF damit ich das Bild direkt ablesen kann.
[mm] L_B [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Das Bild lautet:

[mm] Bild(L_B) [/mm] = span{ [mm] \pmat{ 1 \\ 1/2 \\ 1} [/mm] , [mm] \pmat{-2 \\ -2 \\ -4} [/mm] }

Bis hierhin bin ich mir sicher, dass es stimmen könnte, nun kommen die Probleme, bzw das Problem.
Ich will Bild(L) bestimmen.

Kurzer Ausflug:
Wenn ich den Kern von [mm] L_B [/mm]  bestimmen würde, dann könnte ich den Kern von L bestimmen, indem ich die Elemente der Spaltenvektoren als Koordinatenvektoren der Basiselemente nutze (hoffe ich beschreibe es richtig). Es funktioniert, nur warum weiß ich leider nicht so recht. :)

Dies würde ich nun auch beim Bild einmal Probieren:

Bild(L) = span{ [mm] 1*(x^2+1)+1/2*(-2x)+1*(x-1) [/mm] , [mm] (-2)*(x^2+1)+(-2)*(-2x)+(-4)*(x-1) [/mm] } = span{ [mm] x^2,-2x^2+2 [/mm] } (#)

=> Dim(Bild(L)) = 2, was ja nach dem Dimensionssatz auch stimmt, denn dim(Kern(L)) = 1  und dim(L) = 3.

Wenn dies stimmt, warum funktioniert der mit (#) markierte Bereich, genauso wie beim Kern?

Ich bedanke mich im Voraus.
Grüße Susanne

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Allerdings gibt es die Frage schon 100 mal :)


        
Bezug
Bild und Kern berechen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Do 20.12.2018
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

> Gegeben sei die folgende lineare Abbildung:
> L: [mm]R_{\le2} \to R_{\le2}; ax^2+bx+c \to (a+b)x^2+a-b.[/mm]
> (a)
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm]L_B[/mm] von L bzgl. der
> Basis
> B = [mm]{x^2+1,-2x,x-1}.[/mm]
> (b) Bestimmen Sie Bild [mm](L_B),[/mm] Bild(L) und dim(Bild(L))
> Meine erste Frage wäre, ob meine Lösung so stimmt. Die
> zweite Frage kommt zum Schluss.

>

> (a) Ich überspringe hier einmal die Rechnerei zum bilden
> von [mm]L_B.[/mm]

>

> [mm]L_B[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1/2 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 }.[/mm]

Die erste Spalte ist bei mir anders!

Dementsprechend ist dann auch meine ZSF etwas anders.



>

> Nun bringe ich [mm]L_B[/mm] auf NZSF damit ich das Bild direkt
> ablesen kann.

Genau.


> [mm]L_B[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]

>

> Das Bild lautet:

Ich nehme jetzt zum Weitermachen Deine Matrizen.


>

> [mm]Bild(L_B)[/mm] = [mm] span\{ \pmat{ 1 \\ 1/2 \\ 1}, \pmat{-2 \\ -2 \\ -4} \} [/mm]


Ja.

>

> Bis hierhin bin ich mir sicher, dass es stimmen könnte,
> nun kommen die Probleme, bzw das Problem.
> Ich will Bild(L) bestimmen.

>

> Kurzer Ausflug:
> Wenn ich den Kern von [mm]L_B[/mm] bestimmen würde, dann könnte
> ich den Kern von L bestimmen, indem ich die Elemente der
> Spaltenvektoren als Koordinatenvektoren der Basiselemente
> nutze (hoffe ich beschreibe es richtig). Es funktioniert,
> nur warum weiß ich leider nicht so recht. :)


Weil [mm] L_B [/mm] die Abbildung in Koordinaten bzgl B beschreibt.
Alle Vektoren sind beim Arbeiten mit [mm] L_B [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl B zu verstehen.


>

> Dies würde ich nun auch beim Bild einmal Probieren:

>

> Bild(L) = [mm] span\{ 1*(x^2+1)+1/2*(-2x)+1*(x-1) ,(-2)*(x^2+1)+(-2)*(-2x)+(-4)*(x-1)\} [/mm] = [mm] span\{ x^2,-2x^2+2\} [/mm]

Du machst es haargenau richtig.


> (#)

>

> => Dim(Bild(L)) = 2, was ja nach dem Dimensionssatz auch
> stimmt, denn dim(Kern(L)) = 1 und dim(L) = 3.

Mit dem L meinst Du sicher [mm] dim(R_{\le 2}] [/mm]

>

> Wenn dies stimmt, warum funktioniert der mit (#) markierte
> Bereich, genauso wie beim Kern?

Wie ich oben schrieb: [mm] L_B [/mm] beschreibt die Abbildung L in Koordinaten bzgl B.
Alle Vektoren, die dort im Spiel sind, sind Koordinatenvektoren bzgl B.

Wenn Du z.B. [mm] L(x^2-x-2)=L(1(x^2+1)+2*(-2x)+3(x-1)) [/mm] wissen möchtst, rechnest Du [mm] L_B*\vektor{1\\2\\3}. [/mm]
Das Ergebnis in ein Vektor in Koordinaten bzgl B, welchen Du dann wieder in ein Polynom umrechnen kannst.

Ich hoffe, daß ich Deine Fragen richtig verstanden habe.

LG Angela
>

> Ich bedanke mich im Voraus.
> Grüße Susanne

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Allerdings gibt es die Frage schon 100 mal :)

>

Bezug
                
Bezug
Bild und Kern berechen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Do 20.12.2018
Autor: susannee

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.

Bin jetzt erstmal froh, dass ich diese Aufgabe endlich richtig habe, bzw verstanden habe.


Eine Frage wäre da allerdings, du schreibst, dass der erste Spaltenvektor bei dir anders ist.
Ich kann den Fehler bei mir leider nicht finden.

Die Koordinatenabbildung bzgl b lautet:

[mm] K_B [/mm] = [mm] \vektor{a \\ (a-b-c)/2 \\ a-c} [/mm]

Die Abbildung vom ersten Basiselement lautet
[mm] L(x^2+1)= x^2+1 [/mm]

Und [mm] K_B(L(b_1)) [/mm] lautet

[mm] K_B(L(x^2+1)) [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Ups, du hast recht,auch dafür danke.

Dann lautet mein Bild von L

Bild(L) = [mm] {x^2+1, -2x^2+2} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Bild und Kern berechen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Do 20.12.2018
Autor: angela.h.b.


>

> Die Abbildung vom ersten Basiselement lautet
> [mm]L(x^2+1)= x^2+1[/mm]

>

> Und [mm]K_B(L(b_1))[/mm] lautet

>

> [mm]K_B(L(x^2+1))[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> Ups, du hast recht,auch dafür danke.

>

> Dann lautet mein Bild von L

>

> Bild(L) = [mm]{x^2+1, -2x^2+2}[/mm]

Genau.

LG Angela
 

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]