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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:27 Mi 22.06.2016
Autor: Ferma

Hallo Forum,
a=(1+Wurzel(2))^500
wie kann man diesen Ausdruck vereinfachen? Kann a eine ganze Zahl sein?
Habe das mit einem online-Rechner für große Zahlen berechnen lassen. Die ersten 100 Nachkommastellen sind 0, bei einer internen Genauigkeit von 500 Nachkommastellen für sqr(2)
Gruß, Ferma

        
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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mi 22.06.2016
Autor: fred97


> Hallo Forum,
>  a=(1+Wurzel(2))^500
>  wie kann man diesen Ausdruck vereinfachen? Kann a eine
> ganze Zahl sein?
>  Habe das mit einem online-Rechner für große Zahlen
> berechnen lassen. Die ersten 100 Nachkommastellen sind 0,
> bei einer internen Genauigkeit von 500 Nachkommastellen
> für sqr(2)
>  Gruß, Ferma

Zeige induktiv: ist n [mm] \in \IN, [/mm] so gibt es [mm] a_n, b_n \in \IN [/mm] mit

  [mm] (1+\wurzel{2})^{n}=a_n+b_n*\wurzel{2}. [/mm]

Gibt es ein n derart, dass  [mm] (1+\wurzel{2})^{n} \in \IN [/mm] ist ?

FRED


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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:29 Mi 22.06.2016
Autor: Ferma

Vor dieser Frage (gibt es ein n, derart....) muss ich leider kapitulieren. Kann mir jemand helfen, dies zu ergründen?
Ferma

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mi 22.06.2016
Autor: fred97


> Vor dieser Frage (gibt es ein n, derart....) muss ich
> leider kapitulieren. Kann mir jemand helfen, dies zu
> ergründen?

nimm doch mal an, es gäbe ein solches n......

Fred



>  Ferma


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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:34 Do 23.06.2016
Autor: HJKweseleit

Wenn du die erste Frage per Vollst. Induktion gelöst hast, ist die zweite doch damit schon beantwortet...

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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:56 Do 23.06.2016
Autor: Ferma

Mein Ansatz: Wurzel(2) ist eine irrationale Zahl. Also auch 1+Wurzel(2). Es kann keine ganze Zahl n geben, derart dass [mm] (1+Wurzel(2))^n [/mm] eine ganze Zahl ist. Die Antwort müsste also klar und deutlich sein. Der Ausdruck a führt demnach zu einer irrationalen Zahl.  
Gruß, Ferma

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:26 Do 23.06.2016
Autor: fred97


> Mein Ansatz: Wurzel(2) ist eine irrationale Zahl. Also auch
> 1+Wurzel(2). Es kann keine ganze Zahl n geben, derart dass
> [mm](1+Wurzel(2))^n[/mm] eine ganze Zahl ist.

Das genügt nicht. [mm] \wurzel{2} [/mm] ist irrational , [mm] \wurzel{2}^{24} [/mm] aber nicht.




> Die Antwort müsste
> also klar und deutlich sein.

Ist sie aber nicht.



>  Der Ausdruck a führt demnach
> zu einer irrationalen Zahl.  


Zunächst zeige: zu jedem n [mm] \in \IN [/mm] gibt es [mm] a_n, b_n \in \IN [/mm] mit

  $ [mm] (1+\wurzel{2})^{n}=a_n+b_n\cdot{}\wurzel{2}. [/mm] $


Wäre nun für ein n [mm] \in \IN [/mm] die Zahl [mm] (1+\wurzel{2})^{n} \in \IN, [/mm] so gäbe es ein [mm] k_n \in \IN [/mm] mit

    [mm] a_n+b_n\cdot{}\wurzel{2}=k_n. [/mm]

Löse die letzte Gl. mal nach [mm] \wurzel{2} [/mm] auf.

FRED


> Gruß, Ferma


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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:44 Fr 24.06.2016
Autor: Ferma

Die Lösung der Gleichung führt zu einem Widerspruch. Sqrt(2) als Ergebnis eines Bruches mit ganzen Zahlen. Das widerspricht der Irrationalität von sqrt(2). Also ist das Ergebnis von (1+sqrt(2))^500 KEINE ganze Zahl
Ferma

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Fr 24.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das stimmt…

Gruß,
Gono

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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:56 Fr 24.06.2016
Autor: willyengland

Könnte man das auch so machen?

Wenn man den Ausdruck ausmultiplizieren würde, dann kommen immer auch ungerade Exponenten vor und damit bleibt der Ausdruck irrational, oder nicht?

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Fr 24.06.2016
Autor: hippias

Nein, das ist zu ungenau: [mm] $\sqrt{2}^{10}= \sqrt{2}^{3} \sqrt{2}^{7}\in \IN$ [/mm] obwohl ungerade Exponenten auftauchen. Mach es doch einfach so, wie von Fred vorgeschlagen, dann wärst Du schon längst fertig.

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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:48 Fr 24.06.2016
Autor: willyengland

Ich bin leider nur Anfänger und ich verstehe den Ansatz von Fred nicht.
Wie kommt man auf diesen Ansatz?

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:43 Fr 24.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich bin leider nur Anfänger und ich verstehe den Ansatz von Fred nicht.

Ich hoffe, du verstehst ihn schon, und meinst eigentlich

> Wie kommt man auf diesen Ansatz?

Das ist eine andere Frage: Entweder ganz viel rumprobieren ODER viel viel Erfahrung. Letzteres erhält man, in dem man ersteres ganz oft tut :-)

Wenn man wie hier [mm] $(1+\sqrt{2})^{500}$ [/mm] betrachten soll, schaut man sich erstmal, was bei kleineren Exponenten passiert, nämlich:

[mm] $(1+\sqrt{2})^2 [/mm] = [mm] 3+2\sqrt{2}$ [/mm]
[mm] $(1+\sqrt{2})^3 [/mm] = [mm] 7+5\sqrt{2}$ [/mm]
[mm] $(1+\sqrt{2})^4 [/mm] = [mm] 17+12\sqrt{2}$ [/mm]
[mm] $(1+\sqrt{2})^5 [/mm] = [mm] 41+29\sqrt{2}$ [/mm]

Nunja, und nun könnte man schon auf freds Vermutung kommen…

Gruß,
Gono

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Binom. Große Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Fr 24.06.2016
Autor: willyengland

Super, danke!


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Binom. Große Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:11 Fr 24.06.2016
Autor: abakus


> Hiho,
>  
> > Ich bin leider nur Anfänger und ich verstehe den Ansatz
> von Fred nicht.
> Ich hoffe, du verstehst ihn schon, und meinst eigentlich
>  > Wie kommt man auf diesen Ansatz?

> Das ist eine andere Frage: Entweder ganz viel rumprobieren
> ODER viel viel Erfahrung. Letzteres erhält man, in dem man
> ersteres ganz oft tut :-)
>  
> Wenn man wie hier [mm](1+\sqrt{2})^{500}[/mm] betrachten soll,
> schaut man sich erstmal, was bei kleineren Exponenten
> passiert, nämlich:
>  
> [mm](1+\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{2}[/mm]
>  [mm](1+\sqrt{2})^3 = 7+5\sqrt{2}[/mm]
>  
> [mm](1+\sqrt{2})^4 = 17+12\sqrt{2}[/mm]
>  [mm](1+\sqrt{2})^5 = 41+29\sqrt{2}[/mm]

Vielleicht sollte man an dieser Stelle auch noch erwähnen, dass es sich bei o.g. Summen um
[mm](1+\sqrt{2})^2 = \sqrt{9}+\sqrt{8}[/mm],
[mm](1+\sqrt{2})^3 = \sqrt{49}+\sqrt{50}[/mm],
[mm](1+\sqrt{2})^4 = \sqrt{289}+\sqrt{288}[/mm],
[mm](1+\sqrt{2})^5 = \sqrt{1681}+\sqrt{1682}[/mm]
handelt,
also immer um die Summe aus der Wurzel einer Quadratzahl und der Wurzel ihres Vorgängers oder Nachfolgers.


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Binom. Große Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Sa 25.06.2016
Autor: abakus


> > Hiho,
>  >  
> > > Ich bin leider nur Anfänger und ich verstehe den Ansatz
> > von Fred nicht.
> > Ich hoffe, du verstehst ihn schon, und meinst eigentlich
>  >  > Wie kommt man auf diesen Ansatz?

> > Das ist eine andere Frage: Entweder ganz viel rumprobieren
> > ODER viel viel Erfahrung. Letzteres erhält man, in dem man
> > ersteres ganz oft tut :-)
>  >  
> > Wenn man wie hier [mm](1+\sqrt{2})^{500}[/mm] betrachten soll,
> > schaut man sich erstmal, was bei kleineren Exponenten
> > passiert, nämlich:
>  >  
> > [mm](1+\sqrt{2})^2 = 3+2\sqrt{2}[/mm]
>  >  [mm](1+\sqrt{2})^3 = 7+5\sqrt{2}[/mm]
>  
> >  

> > [mm](1+\sqrt{2})^4 = 17+12\sqrt{2}[/mm]
>  >  [mm](1+\sqrt{2})^5 = 41+29\sqrt{2}[/mm]
>  
> Vielleicht sollte man an dieser Stelle auch noch erwähnen,
> dass es sich bei o.g. Summen um
> [mm](1+\sqrt{2})^2 = \sqrt{9}+\sqrt{8}[/mm],
>  [mm](1+\sqrt{2})^3 = \sqrt{49}+\sqrt{50}[/mm],
>  
> [mm](1+\sqrt{2})^4 = \sqrt{289}+\sqrt{288}[/mm],
>  [mm](1+\sqrt{2})^5 = \sqrt{1681}+\sqrt{1682}[/mm]
>  
> handelt,
>  also immer um die Summe aus der Wurzel einer Quadratzahl
> und der Wurzel ihres Vorgängers oder Nachfolgers.
>  

"Warum sind die ersten 100 Nachkommastellen 0?"
Siehe obige Beispiele.
[mm] $\sqrt{49}$ [/mm] (also 7) ist nur geringfügig kleiner als [mm] $\sqrt{50}$ [/mm] .
Deshalb ist [mm] $\sqrt{49}+\sqrt{50}$ [/mm] gleich 7 + (7 und noch ein klein wenig mehr).
[mm] $\sqrt{288}$ [/mm]  ist nur geringfügig kleiner als [mm] $\sqrt{289}$ [/mm] (also geringfügig kleiner als 17) .
Deshalb ist [mm] $\sqrt{288}+\sqrt{289}$ [/mm] gleich "beinahe 17" + 17.

Da beide Wurzeln nahezu gleich sind (und eine der beiden Wurzel eine natürliche Zahl ist), liegt die betrachtete Summe immer ganz nahe am Doppelten dieser natürlichen Zahl (für gerade n ein wenigdrüber, für ungerade n ein wenig drunter.
Da die Wurzelfunktion in ihrem Verlauf immer schwächer steigt, gehen die Abweichungen zwischen [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] und [mm] $\sqrt{n\pm 1}$ [/mm] gegen Null.

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Binom. Große Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:07 Sa 25.06.2016
Autor: Ferma

Wenn man (1+sqr(2))^500 von einem Rechner für große Zahlen(Arndt Bruenner) berechnen lässt. Mit 10000 internen Nachkommastellen. Warum sind die ersten 100 Nachkommastellen 0?
Ferma

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Sa 25.06.2016
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

darüber lässt sich nur spekulieren und das musst du wohl Arndt Bruenner fragen, um eine genaue Antwort zu erhalten.

Gruß,
Gono

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Sa 25.06.2016
Autor: hippias

Betrachte [mm] $\left(1+\sqrt{2}\right)^{5}$; [/mm] diese Zahl hat eine besondere Eigenschaft, nämlich fast gleich [mm] $82+\frac{1}{82}$ [/mm] zu sein. Damit scheint es zusammenzuhängen. Aber ich weiss nicht, wie genau...

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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Sa 25.06.2016
Autor: fred97


> Wenn man (1+sqr(2))^500 von einem Rechner für große
> Zahlen(Arndt Bruenner) berechnen lässt. Mit 10000 internen
> Nachkommastellen. Warum sind die ersten 100
> Nachkommastellen 0?

Rundungen !

ich hab mal meinen Taschenrechner bemüht. Der sagt mir

(*)  [mm] $1+\wurzel{2}= [/mm] 2.41421356237$


Das ist natürlich nicht der exakte Wert, denn der hat unendlichviele Stellen nach dem Komma. In (*) hab ich nur 11 Nachkommastellen. Das liefert (gerundet):

    $(1+ [mm] \wurzel{2})*10^{11}=241421356237$ [/mm]

Keine Nachkommastelle ! Wie gesagt: Rundungsfehler, die sich fortpflanzen.



Sag ich meinem TR: berechne $(1+ [mm] \wurzel{2})^{500}$, [/mm] so liefert er mir das:

    [mm] 2442546*10^{185} [/mm]


FRED


>  Ferma


Bezug
                
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Binom. Große Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Sa 25.06.2016
Autor: hippias

Ich hatte folgende Idee:
Sei [mm] $\alpha= 1+\sqrt{2}$. [/mm] Für $x= [mm] a+b\sqrt{2}$ [/mm] sei [mm] $x^{\star}:= a-b\sqrt{2}$. [/mm] Sei [mm] $n\in \IN$ [/mm] und [mm] $\gamma= \alpha^{n}$ [/mm]

1. Es ist [mm] $\gamma\gamma^{\star}= (-1)^{n}$. [/mm] Daher hat das Minimalpolynom $f$ von [mm] $\gamma$ [/mm] die Gestalt $f= [mm] t^{2}-at+(-1)^{n}$ [/mm] für ein [mm] $a\in \IN$. [/mm] Insbesondere ist [mm] $\gamma^{2}= a\gamma-(-1)^{n}$ [/mm] und [mm] $\gamma=a+ \frac{(-1)^{n+1}}{\gamma}$ [/mm]
2. Es ist [mm] $\gamma\geq 2^{n}$ [/mm]
3. [mm] $2^{333}>10^{100}$ [/mm]

Fazit: Für alle ungeraden [mm] $n\geq [/mm] 333$ gibt es eine natürliche Zahl $a$ mit [mm] $0\leq \gamma-a< 10^{-100}$, [/mm] d.h. mindestens die ersten $100$ Nachkommestellen sind $=0$.

Ich selber traue dem nicht so recht! Kann das jemand überprüfen?

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Binom. Große Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Mo 27.06.2016
Autor: Ferma

Ich möchte jetzt allen Teilnehmern an diesem Thema vielen Dank aussprechen. Wenn auch nicht zu 100% gelöst, sind doch einige Einzelheiten geklärt worden und interessante Aspekte aufgetaucht.
Ferma

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