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Forum "Funktionalanalysis" - Cauchy-Integralsatz und -forme
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Cauchy-Integralsatz und -forme: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:49 Do 02.07.2015
Autor: JigoroKano

Hey liebe Community,

ich möchte folgendes Integral mit Hilfe des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel berechnen, habe aber überhaupt gar keine Ahung wie das gehen soll.

Das Integral und der Weg lauten:

[mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{{\gamma}}{\bruch{e^{z}}{z^{2}+1}dz} [/mm] mit [mm] \gamma(t)=i+e^{i*t} t\in[0;2\pi] [/mm]

Ich habe echt keine Ahung wie ich daran gehen soll.... Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)

Beste Grüße Kano

        
Bezug
Cauchy-Integralsatz und -forme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:16 Do 02.07.2015
Autor: fred97


> Hey liebe Community,
>  
> ich möchte folgendes Integral mit Hilfe des Cauchyschen
> Integralsatzes und der Cauchyschen Integralformel
> berechnen, habe aber überhaupt gar keine Ahung wie das
> gehen soll.
>  
> Das Integral und der Weg lauten:
>  
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{{\gamma}}{\bruch{e^{z}}{z^{2}+1}dz}[/mm]
> mit [mm]\gamma(t)=i+e^{i*t} t\in[0;2\pi][/mm]
>  
> Ich habe echt keine Ahung wie ich daran gehen soll....
> Vielleicht könnt ihr mir ja helfen :)

Definiere [mm] f(z):=\bruch{e^z}{z+i}. [/mm] Dann ist [mm] \bruch{e^{z}}{z^{2}+1}=\bruch{f(z)}{z-i} [/mm]

Hilft das ?

FRED

>  
> Beste Grüße Kano


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Cauchy-Integralsatz und -forme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:58 Do 02.07.2015
Autor: JigoroKano

Naja das hilft mir nur bedingt.

Ich weiß, dass nach Cauchy [mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z-z_{0}}dz}=0 [/mm] ist...
Jetzt habe ich zwar den Ausdruck des Integrals in dieser Form, aber laut Satz müsste das doch Null sein. Oder?

Beste Grüße
Kano

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Cauchy-Integralsatz und -forme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Do 02.07.2015
Autor: fred97


> Naja das hilft mir nur bedingt.
>  
> Ich weiß, dass nach Cauchy
> [mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z-z_{0}}dz}=0[/mm]
> ist...

Das ist i.a. falsch. Richtig ist:

[mm]\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z-z_{0}}dz}=f(z_0)[/mm],

wenn [mm] \gamma [/mm] ein einfach geschlossener, positiv orientierter und stückweise stetig differenzierbarer Weg  in G ist, mit [mm] z_0 \in Int(\gamma), [/mm] wobei f:G [mm] \to \IC [/mm] holomorph und G eine Gebiet ist.

FRED


>  Jetzt habe ich zwar den Ausdruck des Integrals in dieser
> Form, aber laut Satz müsste das doch Null sein. Oder?
>  
> Beste Grüße
>  Kano


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Cauchy-Integralsatz und -forme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 Do 02.07.2015
Autor: JigoroKano

mhm.... so richtig weiß ich noch nicht was ich machen soll....

Hilft ein Vorgehen wie bei den Wegintegralen?

[mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z-i}dz}=\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{0}^{2\pi}{\bruch{f(\gamma(t))}{\gamma(t)-i}*\gamma'(t)dt} [/mm]

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Cauchy-Integralsatz und -forme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 Do 02.07.2015
Autor: fred97

Wende doch die Cauchysche Integralformel an:

$ [mm] \bruch{1}{2\cdot{}\pi\cdot{}i}\integral_{{\gamma}}{\bruch{e^{z}}{z^{2}+1}dz} [/mm] $

> mit $ [mm] \gamma(t)=i+e^{i\cdot{}t} t\in[0;2\pi] [/mm] $
>  


Definiere $ [mm] f(z):=\bruch{e^z}{z+i}. [/mm] $ Dann ist $ [mm] \bruch{e^{z}}{z^{2}+1}=\bruch{f(z)}{z-i} [/mm] $

Also:  $ [mm] \bruch{1}{2\cdot{}\pi\cdot{}i}\integral_{{\gamma}}{\bruch{e^{z}}{z^{2}+1}dz}= \bruch{1}{2\cdot{}\pi\cdot{}i}\integral_{{\gamma}}{\bruch{f(z)}{z-i}dz}=f(i)=\bruch{e^i}{2i}$ [/mm]

FRED


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Cauchy-Integralsatz und -forme: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 Fr 03.07.2015
Autor: JigoroKano

Hey Fred,

danke für deine Tipps schonmal :-)
Ich habe mal eine wenig geguckt und versucht...
Die Aussage der Cauchyschen Integralformel lautet doch:
[mm] \gamma(t)=z_{0}+r*e^{it} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{\gamma(t)}{\bruch{f(z)}{z-z_{0}} dz}=\bruch{1}{2*\pi*i}\integral_{0}^{2*\pi}{\bruch{f(z_{0}+r*e^{i*t})}{(z_{0}+r*e^{i*t})-z_{0}}*i*r*e^{i*t}dt}=\bruch{1}{2*\pi}\integral_{0}^{2\pi}{f(z_{0}+r*e^{i*t})dt}=\bruch{1}{2*\pi}*2*\pi*f(z_{0})=f(z_{0}) [/mm]

Das heißt für jedes Integral, das ich in diese Form bringen kann, kann ich das so anwenden?
Dann müsste ja eigentlich für folgendes Integral das selbe Ergebnis rauskommen:
Sei [mm] \gamma(t)=-i+e^{it}, t\in[0;2\pi] [/mm]
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{e^{z}}{z^2-1}dz}=\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{e^{z}}{(z+i)(z-i)}dz}\underbrace{=}_{f(z)=\bruch{e^z}{z+i}}\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z-i}dz}=f(i)=\bruch{e^i}{i+i}=\bruch{e^i}{2i} [/mm]

Beste Grüße
Kano


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Cauchy-Integralsatz und -forme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Fr 03.07.2015
Autor: fred97

[mm] $z^2-1=(z-1)(z+1) \ne [/mm] (z-i)(z+i)$


FRED

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Cauchy-Integralsatz und -forme: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:36 Sa 04.07.2015
Autor: JigoroKano

:'D mein Fehler Fred! Was ich eigentlich fragen wollte:

Bei gleichem Integral, aber verschiedenen [mm] \gamma(t) [/mm] müsst man doch immer das gleiche Ergebnis erhalten?

Also:
[mm] \bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{e^z}{z^2+1}dz}=\bruch{e^i}{2i} [/mm]
für [mm] \gamma(t)=3e^{it} [/mm] und [mm] \gamma(t)=-i+e^{it} [/mm]

Sonnige Grüße

Bezug
                                                                        
Bezug
Cauchy-Integralsatz und -forme: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 06.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                                
Bezug
Cauchy-Integralsatz und -forme: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:55 Mo 06.07.2015
Autor: JigoroKano

Hey liebe Community,

so ganz verstehe ich immer noch nicht, was es mit dem Cauchyschen Integralsatz und der Cauchyschen Integralformel auf sich hat...
Wenn ich folgendes Integral betrachte:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz} [/mm]
mit [mm] \gamma_{1}(t)=-5+e^{it} [/mm] und [mm] \gamma_2(t)=1+10e^{it}, t\in[0;2\pi] [/mm]

bekomme ich für beide das selbe Ergebnis? Meine Idee war zu sagen:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^2+i)(z^2-i)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z^2-i}dz} [/mm] mit [mm] f(z)=\bruch{z^7+1}{z^2*(z^2+i)} [/mm]
Aber da kommt nur Müll raus, weil druch Null geteilt werden würde:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{f(z)}{z^2-i}dz}=f(i)=\bruch{i^7+1}{i^2*(i^2+1)}=\bruch{i^7+1}{-1*0} [/mm]

Partialbruchzerlegung hingegen liefert:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z^2}-\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2+i}-\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2-i}dz} [/mm]
Mein Gedanke war jetzt das Integral aufzuteilen und drei verschiedene [mm] f_{k}(z_0) [/mm] zu finden. Also:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z^2-0}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2-(-i)}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2-i}dz} [/mm]
Mit [mm] f_1(z_0)=1, f_2(z_0)=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] f_3(z_0)=\bruch{1}{2} [/mm]
Insgesamt würde man dann erhalten:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{z^7+1}{z^2*(z^4+1)}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{1}{z^2-0}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2-(-i)}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{\bruch{1}{2}}{z^2-i}dz}=\integral_{\gamma}{\bruch{f_1(z)}{z^2-0}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{f_2(z)}{z^2-(-i)}dz}-\integral_{\gamma}{\bruch{f_3(z)}{z^2-i}dz}=f_1(0)-f_2(-i)-f_3(i)=1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}=0 [/mm]
Ich bin mir aber ziemlich sicher, dass das falsch ist. Habe aber keine Ahnung inwiefern die beiden Wege [mm] \gamma_k [/mm] eine Rolle spielen... Über Hilfen wäre ich euch sehr dankebar :-)
Kano


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Cauchy-Integralsatz und -forme: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Mi 08.07.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Bezug
Cauchy-Integralsatz und -forme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:39 Mo 06.07.2015
Autor: Chris84


> :'D mein Fehler Fred! Was ich eigentlich fragen wollte:
>  
> Bei gleichem Integral, aber verschiedenen [mm]\gamma(t)[/mm] müsst
> man doch immer das gleiche Ergebnis erhalten?

Ich habe nun nicht alles im Detail gelesen, aber eine generelle Bemerkung zum Cauchyschen Integralsatz. Es haengt sehr wohl ab, ob (und welche) Polstellen du mit [mm] $\gamma$ [/mm] umschliesst.

Umschliesst du keinen Pol, ist der Integrand holomorph, besitzt dementsprechend eine Stammfunktion und das komplexe Kurvenintegral null.

Ich gebe 'mal ein konkretes Beispiel:

[mm] $\int\limits_{|z|<3} \frac{f(z)}{z-\pi} [/mm] dz = 0$,

aber

[mm] $\int\limits_{|z|<4} \frac{f(z)}{z-\pi} [/mm] dz = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] f(\pi) \not= [/mm] 0$,

da im ersten Fall der Pol [mm] $\pi$ [/mm] NICHT umschlossen wird, im zweiten sehr wohl.


Hilft das?

>  
> Also:
>  [mm]\bruch{1}{2\pi i}\integral_{\gamma}{\bruch{e^z}{z^2+1}dz}=\bruch{e^i}{2i}[/mm]
>  
> für [mm]\gamma(t)=3e^{it}[/mm] und [mm]\gamma(t)=-i+e^{it}[/mm]
>  
> Sonnige Grüße

Gruss,
Chris

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