DGL 4. Ordnung, Lösung gegeben < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
| Aufgabe | Eine homogene lineare DGL 4. Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Lösungen:
y(t)=t*e^(2t) und sin(t+1)
Bestimmen Sie eine solche Differentialgleichung. |
Hallo zusammen,
ich bräuchte bei der Aufgabe mal eure Hilfe. Ich weiß nicht wirklich, wie ich an so eine "verkehrt herum" gestellte Aufgabe drangehen soll.
Bezogen auf den allgemeinen Lösungsansatz von DGL vielleicht mit [mm] \lambda=2? [/mm] Aber dann wüsste ich auch nicht wirklich weiter...
Vielen Dank schonmal!
Gruß Manu
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Sa 08.02.2014 | | Autor: | abakus |
> Eine homogene lineare DGL 4. Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten hat die Lösungen:
> y(t)=t*e^(2t) und sin(t+1)
> Bestimmen Sie eine solche Differentialgleichung.
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte bei der Aufgabe mal eure Hilfe. Ich weiß
> nicht wirklich, wie ich an so eine "verkehrt herum"
> gestellte Aufgabe drangehen soll.
> Bezogen auf den allgemeinen Lösungsansatz von DGL
> vielleicht mit [mm]\lambda=2?[/mm] Aber dann wüsste ich auch nicht
> wirklich weiter...
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Gruß Manu
Auf alle Fälle ist die vierte Ableitung von sin(t+1) wieder sin(t+1).
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Sa 08.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Also, ich habs jetzt erstmal so versucht:
die Gleichung für eine lineare homogene DGL 4. Ordnung ist ja
[mm] y^{4}+a_3*y'''+a_2*y''+a_1*y'+a_0*y=0.
[/mm]
Dort hab ich y(t)=sin(t+1) und die Ableitungen davon eingesetzt. Wenn ich nun [mm] a_1=a_3 [/mm] setze und [mm] a_2=1 [/mm] festlege, dann bleibt ja nur noch [mm] a_0*sin(t+1)=0 [/mm] übrig.
Darf ich das so machen und wenn ja, wie mach ich dann weiter?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:03 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das verstehe ich nicht. a1=a3 ist gut, aber den Rest mit den sin termen muss doch auch 0 geben. wie willst du also a0 und a2 setzen, damit insgesamt 0 rauskommt?
und dann muss auch noch die 2 te funktion stimmen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 So 09.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
ich hab nochmal überlegt und für die Lösung sin(t+1) müsste folgendes funktionieren, wenn ich mich nicht verrechnet hab:
[mm] a_3=a_1, a_2=2, a_0=1
[/mm]
Dann wäre ja die Gleichung erfüllt, aber das haut ja dann für die Lösung t*e^(2t) nicht hin. Wie kann ich denn das jetzt noch lösen, bin echt ratlos.
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hi,
du hast zwei Lösungen gegeben. Diese müssen die lineare homogene DGL 4. Ordnung erfüllen. Den Ansatz hast du ja schon richtig hingeschrieben.
Nun sei doch mal [mm] y(t)=\sin(t+1) [/mm] und [mm] $z(t)=te^{2t}$.
[/mm]
Nun bestimme doch zunächst einmal alle Ableitungen:
[mm] $y^{(4)}(t),\ [/mm] y'''(t),\ y''(t),\ y'(t)$ und [mm] $z^{(4)}(t),\ [/mm] z'''(t),\ z''(t),\ z'(t)$
Setze dies in die allgemeine DGL ein und bestimme die Koeffizienten.
Also wäre es gut, wenn du erst einmal sauber die Ableitungen notierst. Wir überprüfen diese erst einmal, und dann gehts weiter im Programm.
Einverstanden?
Liebe Grüße aus Sachsen, nach Sachsen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:02 So 09.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Hallo,
das ist eine super Idee.
Also erstmal die Ableitungen für y(t)=sin(t+1):
[mm]y'(t)=cos(t+1)[/mm]
[mm]y''(t)=-sin(t+1)[/mm]
[mm]y'''(t)=-cos(t+1)[/mm]
[mm]y^{(4)}=sin(t+1)[/mm]
und jetzt für z(t)=t*e^(2t):
[mm]z'(t)=e^(2t)+2*t*e^(2t)[/mm]
[mm]z''(t)=4e^(2t)+4te^(2t)[/mm]
[mm]z'''(t)=12e^(2t)+8te^(2t)[/mm]
[mm]z^{(4)}=32e^(2t)+16te^(2t)[/mm]
Korrekt soweit?
Viele Grüße nach Sachsen zurück (;
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> das ist eine super Idee.
> Also erstmal die Ableitungen für y(t)=sin(t+1):
> [mm]y'(t)=cos(t+1)[/mm]
> [mm]y''(t)=-sin(t+1)[/mm]
> [mm]y'''(t)=-cos(t+1)[/mm]
> [mm]y^{(4)}=sin(t+1)[/mm]
Das sieht doch schon einmal gut aus!
>
> und jetzt für z(t)=t*e^(2t):
> [mm]z'(t)=e^(2t)+2*t*e^(2t)[/mm]
> [mm]z''(t)=4e^(2t)+4te^(2t)[/mm]
> [mm]z'''(t)=12e^(2t)+8te^(2t)[/mm]
> [mm]z^{(4)}=32e^(2t)+16te^(2t)[/mm]
>
> Korrekt soweit?
Zunächst ein Hinweis: Damit alles im Exponenten steht, schreibe bitte um den Exponenten eine geschweifte Klammer, schreibe also: e^{2t}
Aber die Ableitungen sind auch korrekt.
Bedenke nun, dass du [mm] e^{2t} [/mm] immer ausklammern kannst. Dadurch vereinfacht sich das ganze dann beim Einsetzen in die DGL
So, nächster Schritt:
Setze die Ableitungen in die homogene DGL ein.
[mm] 0=y^{(4)}+ay'''+by''+cy'+dy
[/mm]
[mm] 0=z^{(4)}+az'''+bz''+cz'+dz
[/mm]
Vereinfache die Gleichungen weitestgehend.
>
> Viele Grüße nach Sachsen zurück (;
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 09.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Erstmal danke für den Hinweis mit den geschweiften Klammern!
Also ich hab jetzt eingesetzt und soweit wie möglich vereinfacht:
0=sin(t+1)-a*cos(t+1)-b*sin(t+1)+c*cos(t+1)+d*sin(t+1)
[mm] 0=e^{2t}*[32+16t+12a+8at+4b+4bt+c+2ct+dt]
[/mm]
Kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen oder was wäre jetzt am günstigsten?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
Hi,
> Erstmal danke für den Hinweis mit den geschweiften
> Klammern!
>
> Also ich hab jetzt eingesetzt und soweit wie möglich
> vereinfacht:
> 0=sin(t+1)-a*cos(t+1)-b*sin(t+1)+c*cos(t+1)+d*sin(t+1)
> [mm]0=e^{2t}*[32+16t+12a+8at+4b+4bt+c+2ct+dt][/mm]
Sieht doch gut aus.
Aber das kann man noch weiter zusammenfassen. Bedenke nämlich, dass [mm] e^{2t}\not=0 [/mm] für alle [mm] t\in\IR. [/mm] Und damit kannst du ohne Bedenken die zweite Gleichung durch diesen Faktor dividieren.
Fassen wir mal noch mehr zusammen:
[mm] 0=0*\sin(t+1)+0*\cos(t+1)=(1-b+d)\sin(t+1)+(c-a)\cos(t+1)
[/mm]
$0=0*t+0=(16+8a+4b+2c+d)t+32+12a+4b+c$
Nun Koeffizientenvergleich:
$0=1-b+d$
$0=c-a$
$0=16+8a+4b+2c+d$
$0=32+12a+4b+c$
Es ergibt sich also ein Gleichungssystem, was nun zu lösen ist. Mit der Gleichung zwei kommst du schon ein bisschen voran.
Du erhältst eindeutige Koeffizienten.
>
> Kann man die beiden Gleichungen gleichsetzen oder was wäre
> jetzt am günstigsten?
>
> Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 So 09.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Vielen vielen Dank, dass man die Gleichungen noch weiter vereinfachen konnte, hab ich in dem Moment einfach nicht gesehen.
Ich hab jetzt folgendes raus:
a=-4
b=5
c=-4
d=4
Ich hoffe, das ist richtig?
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 So 09.02.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das kannst du genau so schnell wie wir durch einsetzen der 2 fkt und ihrer Ableitungen überprüfen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 So 09.02.2014 | | Autor: | Manu3911 |
Ja, das stimmt natürlich. Und meine Lösungen müssten nach meiner Proberechnung also auch stimmen (;
Vielen Dank nochmal!
Gruß Manu
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Eine homogene lineare DGL 4. Ordnung mit konstanten
> Koeffizienten hat die Lösungen:
> y(t)=t*e^(2t) und sin(t+1)
> Bestimmen Sie eine solche Differentialgleichung.
> Hallo zusammen,
>
> ich bräuchte bei der Aufgabe mal eure Hilfe. Ich weiß
> nicht wirklich, wie ich an so eine "verkehrt herum"
> gestellte Aufgabe drangehen soll.
> Bezogen auf den allgemeinen Lösungsansatz von DGL
> vielleicht mit [mm]\lambda=2?[/mm] Aber dann wüsste ich auch nicht
> wirklich weiter...
>
> Vielen Dank schonmal!
>
> Gruß Manu
Ich würde mich erstmal um das char. Polynom, ein Polynom vom Grad 4, der gesuchten DGL kümmern:
Die Lösung [mm] y(t)=t*e^{2t} [/mm] liefert: das Polynom hat in 2 eine doppelte Nullstelle.
Die Lösung y(t)=sin(t+1)=sin(t)cos(1)+cost(t)sin(1)
ist eine Linearkombination der linear unabhängigen Lösungen sin(t) und cos(t). Damit ist [mm] e^{it} [/mm] eine Lösung der (komplex aufgefassten DGl)
Folglich sind i und -i Nullstellen des char. Polynoms.
Damit schaut es so aus:
[mm] (\lambda-2)^2(\lambda^2+1)
[/mm]
Multipliziert man das aus, so bekommt man:
[mm] \lambda^4-4 \lambd^3+5 \lambda^2-4 \lambda+4.
[/mm]
Damit lautet die gesuchte DGL
[mm] $y^{(4)}-4y'''+5y''-4y'+4y=0$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
