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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Darstellungsmatrix bestimmen
Darstellungsmatrix bestimmen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Darstellungsmatrix bestimmen: Darstellungsmatrix zurückrechn
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:10 So 17.12.2017
Autor: asg

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Sei $g:\IR^3 \to \IR^2$ eine lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix $M(g) = \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 10 }$.

$\mathcal{A} = \left \{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0 \\ 2}  \right\}$ und $\mathcal{B} = \left \{ \vektor{1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 14} \right\}$ sind eine Basis von $\IR^3$ bzw. $\IR^2$.

Berechnen Sie die Darstellungsmatrix bzgl. $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$, also die Matrix $M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g)$.


Hallo zusammen,

meine Lösung dazu sieht wie folgt aus:

$M(g) \cdot \vektor{1 \\ 2 \\ 0} = 5 \cdot \vektor{1 \\ 2} + 0 \cdot \vektor{0 \\ 14}$
$M(g) \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 2} = 10 \cdot \vektor{1 \\ 2} + \frac{2}{7} \cdot \vektor{0 \\ 14}$
$M(g) \cdot \vektor{2 \\ 0 \\ 2} = 10 \cdot \vektor{1 \\ 2} + \frac{2}{7} \cdot \vektor{0 \\ 14}$


$M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g) = \pmat{ 5 & 10 & 10 \\ 0 & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} }$

Gibt es eine Möglichkeit, meine Berechnung zu kontrollieren, ob sie richtig ist?

Wenn sie eine quadratische Matrix wäre, könnte ich die Identität über die Inversematrix feststellen, aber hier weiß ich es nicht.

Danke vorab für jede Hilfe

Viele Grüße

Asg

        
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:04 So 17.12.2017
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]g:\IR^3 \to \IR^2[/mm] eine lineare Abbildung mit der
> Darstellungsmatrix [mm]M(g) = \pmat{ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 10 }[/mm].

>

> [mm]\mathcal{A} = \left \{ \vektor{1 \\ 2 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0 \\ 2} \right\}[/mm]
> und [mm]\mathcal{B} = \left \{ \vektor{1 \\ 2}, \vektor{0 \\ 14} \right\}[/mm]
> sind eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] bzw. [mm]\IR^2[/mm].

>

> Berechnen Sie die Darstellungsmatrix bzgl. [mm]\mathcal{A}[/mm] und
> [mm]\mathcal{B}[/mm], also die Matrix
> [mm]M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g)[/mm].

>

> Hallo zusammen,

>

> meine Lösung dazu sieht wie folgt aus:

>

> [mm]M(g) \cdot \vektor{1 \\ 2 \\ 0} = 5 \cdot \vektor{1 \\ 2} + 0 \cdot \vektor{0 \\ 14}[/mm]
> [mm]M(g) \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 2} = 10 \cdot \vektor{1 \\ 2} + \frac{2}{7} \cdot \vektor{0 \\ 14}[/mm]
> [mm]M(g) \cdot \vektor{2 \\ 0 \\ 2} = 10 \cdot \vektor{1 \\ 2} + \frac{2}{7} \cdot \vektor{0 \\ 14}[/mm]

>
>

> [mm]M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g) = \pmat{ 5 & 10 & 10 \\ 0 & \frac{2}{7} & \frac{2}{7} }[/mm]

>

> Gibt es eine Möglichkeit, meine Berechnung zu
> kontrollieren, ob sie richtig ist?

Hallo,

so wie Du Deine Rechnung vorgestellt hast, konnte ich mich prima davon überzeugen, daß alles richtig ist, und ich(!) habe gar nicht das Verlangen, noch irgendetwas zu prüfen.


Vllt habt Ihr besprochen, daß
[mm] BM_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g)A^{-1}=M(g) [/mm]
Das liefert eine weitere Kontrollmöglichkeit.
(A und B sind hierbei die Matrizen, die die Basisvektoren in den Spalten haben.)

Dies entspricht dem Vorgehen, daß man die Standardbasisvektoren in solche in Koordinaten bzgl A verwandelt, sie mit [mm] M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g) [/mm] multipliziert und das Ergebnis, welches man in Koordinaten bzgl B bekommt, wieder in solche bzgl der Standardbasis umwandelt.


> Wenn sie eine quadratische Matrix wäre, könnte ich die
> Identität über die Inversematrix feststellen,

Hier weiß ich grad nicht, was Du meinst.

LG Angela



> aber hier
> weiß ich es nicht.

>

> Danke vorab für jede Hilfe

>

> Viele Grüße

>

> Asg


Bezug
                
Bezug
Darstellungsmatrix bestimmen: Danke! [GELÖST]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:08 So 17.12.2017
Autor: asg

Hallo,

Dankeschön für die schnelle Hilfe.
  

> so wie Du Deine Rechnung vorgestellt hast, konnte ich mich
> prima davon überzeugen, daß alles richtig ist, und ich(!)
> habe gar nicht das Verlangen, noch irgendetwas zu prüfen.
>  

Stimmt. Die Prüfung auf Richtigkeit ist nicht verlangt. Ich wollte es aus eigenem Interesse wissen.

>
> Vllt habt Ihr besprochen, daß [mm]BM_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g)A^{-1}=M(g)[/mm]
>  Das liefert eine weitere Kontrollmöglichkeit.
>  (A und B sind hierbei die Matrizen, die die Basisvektoren in den Spalten haben.)
>  
> Dies entspricht dem Vorgehen, daß man die
> Standardbasisvektoren in solche in Koordinaten bzgl A
> verwandelt, sie mit [mm]M_{\mathcal{A}\mathcal{B}}(g)[/mm]
> multipliziert und das Ergebnis, welches man in Koordinaten
> bzgl B bekommt, wieder in solche bzgl der Standardbasis
> umwandelt.
>  

Ah! Stimmt. Wir haben es im Skript, aber ich war wohl etwas durcheinander und dachte, dass Inversematrix nur bei quadratischen Matrizen gibt.

>
> > Wenn sie eine quadratische Matrix wäre, könnte ich die
>  > Identität über die Inversematrix feststellen,

>  
> Hier weiß ich grad nicht, was Du meinst.
>  

Ich hatte die Invertierbarkeit von Matrizen durcheinander gebracht aber jetzt ist es klar geworden (hoffentlich :-)).

> LG Angela
>  

Liebe Grüße
Asg

Bezug
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