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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Def-Wertebereich Skalarprodukt
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Def-Wertebereich Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:43 Sa 05.07.2014
Autor: gummibaum

Aufgabe
Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}[/m] und [m]y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}[/m] ist definiert als [m]xy := \summe_{k=i}^{n} x_{i}y_{i}.[/m]
In manchen Programmpaketen wird dies durch den Funktionsaufruf [m]sp(x,y)[/m] berechnet.

a) Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der Funktion [m]sp[/m] an (konkret, nicht allgemein!).
b) Geben Sie die Bildmenge von [m]f[/m] an, mit Nachweis.

Hallo zusammen.

Zu a) Es gehen zwei Vektoren rein, also [m]D := \IR^{n} \times \IR^{n}[/m] und es kommt eine Zahl dabei raus, also [m]W := \IR[/m]
Was ist hier wohl mit 'konkrekt' gemeint? Etwa die Abbildungsvorschrift der Funktion [m]f[/m] mit [m]sp[/m]: [m]sp: \IR^{n} \times \IR^{n} \mapsto \IR [/m] ?

Zu b) Hier habe leider keine Idee. Hat hier jmd einen Ansatz für mich?

        
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Sa 05.07.2014
Autor: Richie1401

Hi gummibaum,

> Das Skalarprodukt zweier Vektoren [m]x = \begin{pmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}[/m]
> und [m]y = \begin{pmatrix} y_{1} \\ \vdots \\ y_{n} \end{pmatrix}[/m]
> ist definiert als [m]xy := \summe_{k=i}^{n} x_{i}y_{i}.[/m]
>  In
> manchen Programmpaketen wird dies durch den Funktionsaufruf
> [m]sp(x,y)[/m] berechnet.
>  
> a) Geben Sie Definitionsbereich [m]D[/m] und Wertebereich [m]W[/m] der
> Funktion [m]sp[/m] an (konkret, nicht allgemein!).
>  b) Geben Sie die Bildmenge von [m]f[/m] an, mit Nachweis.
>  Hallo zusammen.
>  
> Zu a) Es gehen zwei Vektoren rein, also [m]D := \IR^{n} \times \IR^{n}[/m]
> und es kommt eine Zahl dabei raus, also [m]W := \IR[/m]
>  Was ist
> hier wohl mit 'konkrekt' gemeint? Etwa die
> Abbildungsvorschrift der Funktion [m]f[/m] mit [m]sp[/m]: [m]sp: \IR^{n} \times \IR^{n} \mapsto \IR[/m]
> ?

Wer sagt denn, dass du dich in einem reellen Vektorraum befindest? Er könnte doch auch komplex sein. Oder auch ganz anders (z.b. deutlich kleiner).

>  
> Zu b) Hier habe leider keine Idee. Hat hier jmd einen
> Ansatz für mich?

Was soll denn eigentlich $f$ sein? Also ehrlich gesagt, verstehe ich die Aufgabe nicht.



Und noch ehrlicher: Die Aufgabe finde ich ziemlich ungenau und verworren. Ich habe selbst keine richtige Idee, was man unter a) verstehen soll. Deinen Ansatz finde ich schon ok. Es ist eben nur die Frage, was denn unser Vektorraum ist, auf dem wir das Skalarprodukt definieren.


Bezug
                
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:16 Sa 05.07.2014
Autor: gummibaum

Hi.
Tja, das ist wohl die Aufgabe!;)
Komplexe Zahlen hatten wir bis jetzt noch nicht, also bisher nur mit reellen Zahlen zu tun gehabt.
Dann sollte es aber korrekt sein oder?

Bezug
                        
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:29 So 06.07.2014
Autor: angela.h.b.


> Hi.
> Tja, das ist wohl die Aufgabe!;)
> Komplexe Zahlen hatten wir bis jetzt noch nicht, also
> bisher nur mit reellen Zahlen zu tun gehabt.
> Dann sollte es aber korrekt sein oder?

Hallo,

ja.

zu b) Du sollst sagen (und beweisen) ob jede reelle Zahl als Funktionswert herauskommen kann, ober ob Zahlen gibt, die nicht herauskommen können.

LG Angela

Bezug
                                
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:05 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Hi. Ok, ich würde sagen, die Bildmenge der Funktion [m]sp[/m] lautet ungefähr so...

[m] sp (\IR \times \IR) := \left\{x_i * y_i \; | \; x_i, y_i \in \IR \right\} [/m]

Habt ihr noch einen Tipp für mich?

Bezug
                                        
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:26 So 06.07.2014
Autor: chrisno

Das lässt sich noch einfacher formulieren, entscheidend ist der Nachweis.

Bezug
                                                
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 So 06.07.2014
Autor: gummibaum

Ich weiß nicht, wie ich den Nachweis formulieren soll?
Ich weiß nur, dass zwei Vektoren ([m]\IR^{n} \times \IR^{n}[/m]) reingehen und dabei eine Zahl ([m]\IR[/m]) rauskommt.

[m] \left\Vert x \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert * cos \phi [/m]

Wenn der von [m]\vec x[/m] und [m]\vec y[/m] eingeschlossene Winkel [m]\phi = 0[/m] (im Bogenmaß), dann gilt [m] \left\Vert x \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert * 1[/m], also können nur positive Werte bei rauskommen.

Bezug
                                                        
Bezug
Def-Wertebereich Skalarprodukt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Mo 07.07.2014
Autor: angela.h.b.


> Ich weiß nicht, wie ich den Nachweis formulieren soll?

Hallo,

den Nachweis wofür genau?

Ich frage mich, warum Du die Bildmenge so komisch schreibst:
sp [mm] (\IR^{\red{n}} \times \IR^{\red{n}})= \left\{x_i * y_i \; | \; x_i, y_i \in \IR \right\}. [/mm]
Wofür das Produkt [mm] x_iy_i? [/mm]

> Ich weiß nur, dass zwei Vektoren ([mm]\IR^{n} \times \IR^{n}[/mm])
> reingehen und dabei eine Zahl ([mm]\IR[/mm]) rauskommt.

Aha. Das Skalarprodukt zweier Vektoren des [mm] \IR^n [/mm] ergibt eine reelle Zahl.
Also ist [mm] sp(\IR^n\times \IR^n) [/mm] auf jeden Fall eine Teilmenge von [mm] \IR. [/mm]
Nun wiederhole ich mich: Du mußt herausfinden, ob jede reelle Zahl im Bild ist, oder ob es reelle Zahlen gibt, die als Funktionswert von sp nicht angenommen werden.

>

> [mm]\left\Vert x \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert * cos \phi[/mm]

???
Hier steht einfach ein Term.
Was meinst Du damit? Ich sag's Dir: Du willst uns sagen, daß Du gelernt hast, daß [mm] \red{sp(x,y)=}\left\Vert x \right\Vert [/mm]  + [mm] \left\Vert y \right\Vert [/mm] * cos [mm] \phi, [/mm] wobei [mm] \phi [/mm] der von x und y eingeschlossene Winkel ist.

Mir ist nicht ganz klar, weshalb Du jetzt mit dieser Darstellung des Skalarproduktes kommst.
Ich würd' mich lieber an die Definition der Aufgabe halten.

>

> Wenn der von [mm]\vec x[/mm] und [mm]\vec y[/mm] eingeschlossene Winkel [mm]\phi = 0[/mm]
> (im Bogenmaß), dann gilt [mm]\left\Vert x \right\Vert + \left\Vert y \right\Vert * 1[/mm],

Nein. Es gilt dann [mm] sp(x,y)=\left\Vert x \right\Vert \red{*}\left\Vert y \right\Vert [/mm] * 1

> also können nur positive Werte bei rauskommen.

Stimmt. Bloß sind wir damit schlauer? Nein, denn es gibt ja auch Vektoren x und y, die einen Winkel [mm] \phi\not=0 [/mm] einschließen.

So, ich sag' Dir was: es ist sp [mm] (\IR^n \times \IR^n)=\IR. [/mm]

Nachweisen mußt Du nun, daß wirklich auf jede reelle Zahl abgebildet wird.

Gib doch übungshalber mal zwei Vektoren des [mm] \IR^n [/mm] an, deren Skalarprodukt -5 ergibt, solche, deren Skalarprodukt 13 ist, und welche, deren Skalarprodukt 0 ergibt.

Danach führst Du den Beweis:
Sei [mm] r\in \IR. [/mm]
Mit x:=... und y:= ... bekommt man sp(x,y)=...=r.

LG Angela




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