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Differentialgleichung Lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 Mi 08.06.2016
Autor: Arkathor

Aufgabe
Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y'=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}} [/mm] mit y(0)=-1

Hallo
Habe Problem mit dieser Aufgabe.
Also hier ist mein Rechenweg:
[mm] \bruch{dy}{dx}=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}} [/mm]
[mm] \bruch{dy}{y^3}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx [/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^3}}=\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx} [/mm]
[mm] -\bruch{1}{2y^2}+c_1=\wurzel{x^2+1}+c_2 [/mm]
[mm] -\bruch{1}{2y^2}=\wurzel{x^2+1}+\underbrace{c_2-c_1}_{=c} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2y^2}=-(\wurzel{x^2+1}+c) [/mm]
[mm] \bruch{1}{y^2}=-2(\wurzel{x^2+1}+c) [/mm]
[mm] \bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}=y^2 [/mm]
[mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}}=y [/mm]

Nach dem einsetzen:
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{0^2+1}+c)}} [/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{1}+c)}} [/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{-2(1+c)}} [/mm]
-1= [mm] \wurzel{\bruch{1}{(-2-2c)}} [/mm]
[mm] 1=\bruch{1}{(-2-2c)} [/mm]
[mm] c=-\bruch{c}{2}-\bruch{c}{2c} [/mm]
[mm] \bruch{3}{2}c=-\bruch{1}{2} [/mm]
[mm] c=-\bruch{1}{3} [/mm]

Wenn ich das aber in Wolfram Alpha eintippe kriege ich als Ergebnis
[mm] y=-\bruch{1}{\wurzel{3-2\wurzel{x^2+1}}} [/mm]

Sieht irgendwie anders aus und ich frage mich wo habe ich Fehler gemacht. Wäre dankbar für Korrektur und Erklärung was falsch war.

Schöne Grüße

        
Bezug
Differentialgleichung Lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Mi 08.06.2016
Autor: chrisno


> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
>  [mm]y'=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}}[/mm] mit y(0)=-1
>  Hallo
>  Habe Problem mit dieser Aufgabe.
>  Also hier ist mein Rechenweg:
>  [mm]\bruch{dy}{dx}=\bruch{xy^3}{\wurzel{x^2+1}}[/mm]
>  [mm]\bruch{dy}{y^3}=\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx[/mm]
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{dy}{y^3}}=\integral_{}^{}{\bruch{x}{\wurzel{x^2+1}}dx}[/mm]
>  [mm]-\bruch{1}{2y^2}+c_1=\wurzel{x^2+1}+c_2[/mm]
>  [mm]-\bruch{1}{2y^2}=\wurzel{x^2+1}+\underbrace{c_2-c_1}_{=c}[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{2y^2}=-(\wurzel{x^2+1}+c)[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{y^2}=-2(\wurzel{x^2+1}+c)[/mm]
>  [mm]\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}=y^2[/mm]
>  [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{x^2+1}+c)}}=y[/mm]
>  
> Nach dem einsetzen:
>  -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{0^2+1}+c)}}[/mm]

Da geht der Alarm los: eine Wurzel ergibt eine negative Zahl? ...
Da musst Du vorher suchen. Wenn DU auf beiden Seiten einer Gleichung die Wurzel ziehst, dann musst Du optional ein Vorzeichen spendieren.
Beispiel [mm] $(-1)^2 [/mm] = [mm] 1^2$ [/mm] ist richtig. Danach ist aber $-1 = 1$ falsch.


>  -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(\wurzel{1}+c)}}[/mm]
>  -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{-2(1+c)}}[/mm]
>  -1= [mm]\wurzel{\bruch{1}{(-2-2c)}}[/mm]

Das Quadrieren heilt den Fehler wieder.

>  [mm]1=\bruch{1}{(-2-2c)}[/mm]
>  [mm]c=-\bruch{c}{2}-\bruch{c}{2c}[/mm]

Diese Umformung ....

[mm]1=\bruch{1}{(-2-2c)}[/mm] | mal (-2-2c)
$(-2-2c) = 1$
$-2c = 3$
$c = [mm] -\br{3}{2}$ [/mm]

> Wenn ich das aber in Wolfram Alpha eintippe kriege ich als
> Ergebnis
> [mm]y=-\bruch{1}{\wurzel{3-2\wurzel{x^2+1}}}[/mm]


>  
> Sieht irgendwie anders aus

Nun nicht mehr, oder?


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