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Differentialgleichungen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:27 Sa 26.12.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
a) Gegeben sei das Anfangswertproblem
y'= 2xy = f(x,y(x)), y(0)=1 für [mm] x\in [/mm] I [mm] \subseteq\IR [/mm]

Weiter sei die Iterationsfolge [mm] (y_{n}(x))_{n\in\IN} [/mm] gegeben durch
[mm] y_{0}(x) [/mm] = 1 für [mm] x\in [/mm] I und [mm] y_{n+1}(x) [/mm] = [mm] y_{0}(x) [/mm] + [mm] \integral_{0}^{x}{f(t,y_{n}(t)) dt} [/mm] für alle n = 0,1,2,3,.....

i) Berechnen Sie [mm] y_{n}(x) [/mm] für n = 0,1,2

ii) Leiten Sie daraus eine allgemeine Formel für [mm] y_{n}(x) [/mm] her und beweisen Sie diese mit einer vollständigen Induktion über n

iii) Bestimmen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}(x) [/mm] für [mm] x\in [/mm] I.

iv) Zeigen Sie, dass dieser Limes tatsächlich eine Lösung des AWP ist.


b) Zeigen Sie, dass sich eine DGL n-ter Ordnung, [mm] y^{n}= F(t,y,y',...,y^{(n-1)}), [/mm] als ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung der Form
x'= f(t,x) mit f(t,x) = [mm] (x_{2},...,x_{n},F(t,x))^{T} [/mm]
schreiben lässt

ZU a):

i) und ii): Diese 2 Punkte waren kein Problem. Komm auf [mm] y_{n}(x)=\summe_{i=1}^{n}\bruch{x^{2i}}{i!}. [/mm] Induktionsbeweis hat auch gut hingehauen

iii) Hier weiß ich nicht wie ich es rechnerisch zeige aber meines Erachtens müsste für den Grenzwert [mm] e^{x^{2}} [/mm] rauskommen, was sich in iv) auch bestätigt. Frage ist also wie zeige ich as rechnerisch?


iv)  

y'=2xy

y identisch 0 ist Lsg der DGL aber keine Lag des AWP

y'=2xy [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] y = C [mm] e^{x^{2}} [/mm]

mit AWP folgt C=1 [mm] \Rightarrow [/mm] y = [mm] e^{x^{2}} [/mm] ist Lsg des AWP

Aufgabe b) folgt noch bisher noch keine Idee

        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:48 Sa 26.12.2015
Autor: Jule2

Also bei der iii) hast du das Ergebnis doch fast geschenkt!!
Denn wenn du dir deine Lsg zu ii) anschaust und n gegen unendlich schickst ist dass doch gerade die reihenentwicklung der e-Funktion!!!
LG

Bezug
                
Bezug
Differentialgleichungen: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Sa 26.12.2015
Autor: Martin_Ph

Aufgabe
siehe oben

ja das stimmt hab ich im Grunde auch gesehen
Kann man das so aufschreiben:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x^{2})^{n}}{n!}=e^{x^{2}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 Sa 26.12.2015
Autor: fred97


> siehe oben
>  ja das stimmt hab ich im Grunde auch gesehen
> Kann man das so aufschreiben:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}(x)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^{2n}}{n!}=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(x^{2})^{n}}{n!}=e^{x^{2}}[/mm]

Ja,genau so

Fred

>  


Bezug
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