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Differenzialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:37 Mi 08.06.2016
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL.

[mm] y'''-3y''+4y=2e^{x} [/mm]

Hallo.

Also die Nullstellen habe ich ja mit -1 und 2 (Doppelnullstelle).

Die Lösung ist jetzt aber angegeben mit

[mm] y=C_{1}*e^{-x}+(C_{2}+C_{3}x)e^{2x}+e^{x} [/mm]

Ich kann alles nachvollziehen, bis auf den letzten Term [mm] +e^{x} [/mm]

Ich weis nicht woher ich diesen erhalte.

Kann mir das evtl. bitte jemand erklären?

Vielen Dank schon einmal.


        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Do 09.06.2016
Autor: HJKweseleit


> Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL.
>  
> [mm]y'''-3y''+4y=2e^{x}[/mm]

Dies ist eine lineare  inhomogene Differenzialgleichung. Das bedeutet:

Links stehen nur Vielfache der Ableitungen von y, die aber linear sind (also nicht hoch 2, hoch 3 oder so), aber keine andere Funktion von x.

Wenn rechts dann =0 steht,handelt es sich um eine homogene DGL, wenn rechts noch eine Fkt. von x (ohne y, y' usw.) steht, um eine inhomogene Fkt.

Die Lösungen setzen sich zusammen aus
allen Lösungen der homogenen Fkt.
+ eine spezielle Lösung der inhomogenen Fkt.

Wenn du nun [mm] y=ae^{kx} [/mm] ansetzt, erhältst du nur dann die Gleichung

[mm] k^3-3a^2+4=0 [/mm]  mit den Lösungen k=-1 und k=2, wenn du die rechte Seite der Ausgangsgleichung =0 setzt.

Dort steht aber [mm] 2e^x. [/mm] Du hast somit die homogene, nicht aber die Ausgangsgleichung gelöst.

Nun musst du zu allen gefundenen Lösungen der homogenen noch eine(!) spezielle Lösung der gesamten Ausgangsgleichung hinzuaddieren.

Wenn du nun für [mm] y=e^x [/mm] einsetzt, stellst du fest, dass damit die gesamte Gleichung richtig wird. Deshalb musst du diese Lösung noch hinzuaddieren.

Wie funktioniert das?

Nehmen wir an, es gibt 2 Lösungsfunktionen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] der Gleichung
[mm] y'''-3y''+4y=2e^{x} [/mm]

mit [mm] r(x)=y_1(x) [/mm] und [mm] s(x)=y_2(x). [/mm]

Also gilt

[mm] r'''-3r''+4r=2e^{x} [/mm] und
[mm] s'''-sy''+4s=2e^{x}. [/mm]

Subtraktion liefert

(r'''-s''')-3(r''-s'')+4(r-s)=0 bzw.
  (r-s)'''-3(r-s)''+4(r-s)=0 (Das geht nur, weil die DGL linear ist!!!)

Setzt man nun t(x)=r(x)-s(x), so hat man
t'''-3t''+4t=0.

Das bedeutet nun: t ist eine Lösung der homogenen DGL.

Ist nun s eine Lösung der gesamten (inhomogenen) DGL., so gilt für die Lösung r:  r=s+t.

Das bedeutet: Jede Lösung der Ausgangsgleichung unterscheidet sich von einer anderen nur durch t, also einer Lösung der homogenen DGL.

Addiert man also zu irgendeiner speziellen Lösung der DGL alle Lösungen der homogenen DGL, so bekommt man alle möglichen Lösungen.


Bezug
                
Bezug
Differenzialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Do 09.06.2016
Autor: Ice-Man

Danke für deine Hilfe,

ich habe das jetzt verstanden.

Doch hätte ich bitte dazu noch eine Frage.
Angenommen es wird gefragt welche Lösung die Anfangsbedingungen y(0)=2, y'(0)=0 und y''(0)=2 erfüllt.

Ich würde jetzt ableiten und einsetzen,

[mm] y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}xe^{2x}+e^{x} [/mm]

[mm] y'=-C_{1}e^{-x}+2C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{2x}+2C_{3}xe^{2x}+e^{x} [/mm]

[mm] y''=C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{2x}+2C_{3}e^{2x}+2C_{3}e^{2x}+4C_{3}xe^{2x}+e^{x} [/mm]



[mm] 2=C_{1}+C_{2}+C_{3}+1 [/mm]

[mm] 0=-C_{1}+2C_{2}+C_{3}+1 [/mm]

[mm] 2=C_{1}+4C_{2}+4C_{3}+1 [/mm]

Wäre das korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:09 Do 09.06.2016
Autor: fred97


> Danke für deine Hilfe,
>  
> ich habe das jetzt verstanden.
>  
> Doch hätte ich bitte dazu noch eine Frage.
>  Angenommen es wird gefragt welche Lösung die
> Anfangsbedingungen y(0)=2, y'(0)=0 und y''(0)=2 erfüllt.
>
> Ich würde jetzt ableiten und einsetzen,
>  
> [mm]y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}xe^{2x}+e^{x}[/mm]
>  
> [mm]y'=-C_{1}e^{-x}+2C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{2x}+2C_{3}xe^{2x}+e^{x}[/mm]
>  
> [mm]y''=C_{1}e^{-x}+4C_{2}e^{2x}+2C_{3}e^{2x}+2C_{3}e^{2x}+4C_{3}xe^{2x}+e^{x}[/mm]
>  
>
>
> [mm]2=C_{1}+C_{2}+C_{3}+1[/mm]

das stimmt nicht !  [mm] C_3 [/mm] hat da nichts zu suchen.


>  
> [mm]0=-C_{1}+2C_{2}+C_{3}+1[/mm]
>  
> [mm]2=C_{1}+4C_{2}+4C_{3}+1[/mm]

das ist o.k.

fred

>  
> Wäre das korrekt?


Bezug
                                
Bezug
Differenzialgleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:32 Do 09.06.2016
Autor: Ice-Man

Stimmt, da war ein Fehler von mir.

Letztendlich erhalte ich [mm] C_{1}=1 [/mm] und [mm] C_{2}=0 C_{3}=0 [/mm]

Also ist [mm] y=e^{-x} [/mm]

Mein Problem ist jetzt nur das ich als Lösung angegeben habe

y=2coshx

Und ich bin der Meinung das dass was anderes als [mm] y=e^{-x} [/mm] ist, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Differenzialgleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:06 Fr 10.06.2016
Autor: Chris84


> Stimmt, da war ein Fehler von mir.
>  
> Letztendlich erhalte ich [mm]C_{1}=1[/mm] und [mm]C_{2}=0 C_{3}=0[/mm]

Die Loesung stimmt.

>  
> Also ist [mm]y=e^{-x}[/mm]

Nein, die Loesung ist dann doch

[mm] $y=e^{-x}+e^{x}$ [/mm]

[mm] ($e^x$ [/mm] ist doch gerade die partikulaere Loesung).

>  
> Mein Problem ist jetzt nur das ich als Lösung angegeben
> habe
>  
> y=2coshx

Mit dem vergessenen [mm] $e^x$ [/mm] ist das tatsaechlich die Loesung (schlage notfalls die Definition von cosh nach).

>  
> Und ich bin der Meinung das dass was anderes als [mm]y=e^{-x}[/mm]
> ist, oder?


Bezug
                                                
Bezug
Differenzialgleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Fr 10.06.2016
Autor: Ice-Man

Stimmt, den einen Term habe ich übersehen.

Dann schau ich nochmal nach der Definition nach.
Auf jeden Fall erst einmal vielen Dank.

Bezug
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