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Distributivgesetz: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:44 Do 23/04/2015
Author: gsmv4

Aufgabe
[mm] \vec a * (\vec b \pm \vec c) = \vec a * \vec b \pm \vec a * \vec c [/mm]

[mm] (\vec a \pm \vec b) * \vec c = \vec a * \vec c \pm \vec b * \vec c [/mm]

Warum wird das Distributivgesetz für das Skalarprodukt nicht so aufgeschrieben, gilt es nicht für Subtraktionen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 19:16 Do 23/04/2015
Author: gsmv4

Bei Wikipedia und im Lehrbuch steht nur die Fassung mit dem + Zeichen, warum ohne - Zeichen, gilt es nur für Addition? Ich habe es überprüft und meine es gilt auch für Subtraktion...

Bezug
        
Bezug
Distributivgesetz: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 21:21 Do 23/04/2015
Author: chrisno


> [mm]\vec a * (\vec b \pm \vec c) = \vec a * \vec b \pm \vec a * \vec c[/mm]
>  
> [mm](\vec a \pm \vec b) * \vec c = \vec a * \vec c \pm \vec b * \vec c[/mm]
>  
> Warum wird das Distributivgesetz für das Skalarprodukt
> nicht so aufgeschrieben, gilt es nicht für Subtraktionen?

Es gilt natürlich auch für Subtraktionen. Es ist nur völlig überflüssig, das extra zu erwähnen. Da es allgemein für beliebige Vektoren formuliert wird, gilt es auch für [mm] $\vec{b'}=-\vec{b}$. [/mm]

Um das noch deutlicher und allgemeiner zu formulieren:
Mit der Einführung der negativen Zahlen wird die Subtraktion abgeschafft. Falls man so etwas machen will, dann wird die "Gegenzahl" addiert. Entsprechendes gilt für Vektoren.


Bezug
                
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:29 Do 23/04/2015
Author: gsmv4

[mm] \vec{b'} [/mm] ist dies nicht das Zeichen für Transposition?

Bezug
                        
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 22:52 Do 23/04/2015
Author: chrisno

So ist es hier nicht gemeint. Irgendetwas, bloß nicht [mm] $\vec{b}$ [/mm] selbst.

Bezug
                                
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:07 Do 23/04/2015
Author: gsmv4

ok vielen Dank hatte mir das schon so gedacht;)

Bezug
                
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 12:47 Fr 24/04/2015
Author: fred97


>  
> Um das noch deutlicher und allgemeiner zu formulieren:
>  Mit der Einführung der negativen Zahlen wird die
> Subtraktion abgeschafft. Falls man so etwas machen will,
> dann wird die "Gegenzahl" addiert. Entsprechendes gilt für
> Vektoren.
>  


Damit bin ich nun überhaupt nicht einverstanden.

Besuchen wir mal einen Vektorraum $V$ über einem Körper [mm] $\IK$ [/mm]  (die bekloppten Pfeile schenke ich mir).

Eines der Vektorraumaxiome lautet so:

  zu jedem $a [mm] \in [/mm] V$ gibt es ein $b [mm] \in [/mm] V$ mit $a+b=0$.

Dann zeigt man, dass dieses $b$ eindeutig bestimmt ist, mann hat also:

  zu jedem $a [mm] \in [/mm] V$ gibt es genau ein $b [mm] \in [/mm] V$ mit $a+b=0$.

Sodann definiert man:

      $-a:=b$

und für $x,y [mm] \in [/mm] V$ setzt man

(*)   $x-y:=x+(-y)$.

Es wird also eine Subtraktion definiert !

Ist [mm] $V=\IR$ [/mm] und $x [mm] \in \IR$, [/mm] so muss $-x$ nicht negativ sein.

In [mm] \IR [/mm] hat man noch eine Ornungsrelation " [mm] \le [/mm] " (axiomatisch gefordert !).

Negative Zahlen sind dann gegeben durch

   [mm] $N:=\{x \in \IR: x \le 0, x \ne 0\}.$ [/mm]

Durch die Einführung von N wird die Subtraktion nicht abgeschafft, die man durch (*) mühsam definiert hat.

FRED

     (2)



  zu jede

Bezug
                        
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 14:14 Fr 24/04/2015
Author: chrisno

Ein Kompromissangebot:
Wenn man vom schulischen Aufbau, der mit [mm] $\IN$ [/mm] beginnt, her schaut, wird mit der Erweiterung auf [mm] $\IZ$ [/mm] die Subtraktion auf eine Operation reduziert, welche aus der Addition abgeleitet wird.

Bezug
                                
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 15:34 Fr 24/04/2015
Author: fred97


> Ein Kompromissangebot:
>  Wenn man vom schulischen Aufbau, der mit [mm]\IN[/mm] beginnt, her
> schaut, wird mit der Erweiterung auf [mm]\IZ[/mm] die Subtraktion
> auf eine Operation reduziert, welche aus der Addition
> abgeleitet wird.

Und in Vektorräumen ?

FRED


Bezug
                                        
Bezug
Distributivgesetz: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 10:46 So 26/04/2015
Author: chrisno

Da muss ich Dir recht geben. Ich frage in der Mitteilung:
Ist in der Subtraktion mehr als eine Konvention, die das Schreiben eines Klammerpaars und eines Rechenzeichens erspart?


Bezug
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