matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDiskrete OptimierungDualisierungsproblem
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Diskrete Optimierung" - Dualisierungsproblem
Dualisierungsproblem < Optimierung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Optimierung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Dualisierungsproblem: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:10 Do 02.05.2013
Autor: EvelynSnowley2311

Aufgabe
Sei (x,s) zulässiger Punkt von

P : max { [mm] c^T [/mm] x : Ax + s = b   , x,s [mm] \ge [/mm] 0 }

und (y,r) zulässiger Punkt des zu P dualen Problems


D : min { [mm] b^T [/mm] y : [mm] A^T [/mm] y - r = c , y,w [mm] \ge [/mm] 0 }

Zeige: (x,s) und (y,r) sind g.d. optimal, wenn [mm] x^T [/mm] r = 0 und [mm] y^T [/mm] s = 0.


Huhu,,
Also obige Probleme haben ja eine Schlupfvariable und sind ja eigentlich äquivalent zu den bekannten Problemen

P:=max {Ax [mm] \le [/mm] b , x [mm] \ge [/mm] 0} und D := min { [mm] b^T [/mm] y : [mm] A^T [/mm] y [mm] \ge [/mm] c , [mm] y\ge [/mm] 0 }

wobei ersteres ein Polyeder beschreibt und das duale Problem: Kann ich mir das auch als Polyeder darstellen?

Ich hab ehrlich gesagt zu keiner Richtung ne Ahnung. Was bedeutet optimal hier? Ist das der Punkt , der die Zielfunktion maximiert unter der Vor, dass Ax + u = b ist?

Ich weiß nicht wie ich das überführen kann, man sagt, dass die Schlupfvariable des prinmalen System mit zulässigen y aus dem dualen System senkrecht aufeinander stehen, sowie die primären zulässigen Vektoren x senkrecht auf den Schlufpvariablen aus dem dualen System stehen. Aber wie kann ich beide miteinander verfplechten?

Lg,

Eve

Edit:

Es müsste eig
[mm] c^T [/mm] x = [mm] (A^T [/mm] y [mm] +r)^T [/mm] x = [mm] y^T [/mm] A x + [mm] r^T [/mm] x = [mm] b^T [/mm] y + [mm] r^T [/mm] x

Und es gilt [mm] r^T [/mm] x = 0 eig nur dann wenn [mm] u_j x_j [/mm] = 0, da x und r [mm] \ge [/mm] 0

und das müsste äquivalent sein? zu [mm] x^T [/mm] ( [mm] A^T [/mm] y - c ) = 0 und [mm] y^T [/mm] (Ax -b) = 0 gleichzeitig. Aber so richtig schlau draus werd ich noch nicht, aber ich glaub das letzte hier geht in die richtige Richtung.

        
Bezug
Dualisierungsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Fr 03.05.2013
Autor: wieschoo

Wo kommt das "w" beim dualen Problem her?

Die Aussage heißt (glaube ich) "Satz vom komplementären Schlupf".

Ich habe die Frage erst zu spät gesehen. Werde mich morgen noch einmal damit beschäftigen.

Bezug
        
Bezug
Dualisierungsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:37 Sa 04.05.2013
Autor: Marcel

Hi Evelyn,

> Sei (x,s) zulässiger Punkt von
>  
> P : [mm] \max \{ c^T x : Ax + s = b , x,s \ge0 \} [/mm]
>  
> und (y,r) zulässiger Punkt des zu P dualen Problems
>  
>
> D : [mm] \min \{ b^T y : A^T y - r = c , y,w \ge 0 \} [/mm]
>  
> Zeige: (x,s) und (y,r) sind g.d. optimal, wenn [mm]x^T[/mm] r = 0
> und [mm]y^T[/mm] s = 0.
>  
> Huhu,,

>...

> stellen?
>  
> Ich hab ehrlich gesagt zu keiner Richtung ne Ahnung. Was
> bedeutet optimal hier? Ist das der Punkt , der die
> Zielfunktion maximiert unter der Vor, dass Ax + u = b ist?

von "dem Punkt" kannst Du nur sprechen, wenn Du auch Eindeutigkeit hast.
Ich hab' "das OR-Zeugs" fast gänzlich nicht mehr im Kopf, und Du drückst es
nicht vollständig und auch nicht ganz korrekt aus, aber im Wesentlichen hast
Du es fast erfasst, was "optimal" hier bedeutet:
[mm] $(x_0,s_0)$ [/mm] ist (ein) optimal(er Punkt) für [mm] $P\,$ [/mm] genau dann, wenn gilt:
[mm] $x_0 \ge [/mm] 0$ und [mm] $s_0 \ge [/mm] 0$ und [mm] $Ax_0+s_0=b$ [/mm] und:
Für alle Punkte $(x,s)$ mit [mm] $x\ge 0\,,$ [/mm] $s [mm] \ge [/mm] 0$ und $Ax+s=b$ gilt
[mm] $$c^T [/mm] x [mm] \le c^T x_0\,.$$ [/mm]

(Grobgesagt: [mm] $(x_0,s_0)$ [/mm] ist ein Punkt, an dem 'der Funktionswert für $c^Tx$ "maximal"
wird (durch Einsetzen von [mm] $x=x_0$)', [/mm]
bzw. wo $c^Tx$ ihr Maximum annimmt, d.h. für alle anderen zulässigen Punkte [mm] $(x,s)\,$ [/mm]
ist $c^Tx$ kleinergleich dem Wert von [mm] $c^T x_0\,.$) [/mm]

Beachte aber bitte, dass [mm] $c^Tx_0$ [/mm] der "Funktionswert" ist und [mm] $(x_0,s_0)$ [/mm] "eine zugehörige zulässige Stelle"...

Vielleicht hilft Dir das ja schonmal zum Verständnis?!

Nebenbei: Gängig sind auch solche Schreibweisen, etwa für [mm] $P\,$: [/mm]
[mm] $$\max [/mm] c^Tx$$
s.t. [mm] $Ax+s=b\,,$ [/mm] $x [mm] \ge 0,\,$ [/mm] $s [mm] \ge 0\,.$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Dualisierungsproblem: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:53 Sa 04.05.2013
Autor: Marcel

P.S.

Nach etwas stöbern habe ich
[]hier (klick!)

ein Skript gefunden, wo die Begriffe "zulässiger Punkt" und "optimale Lösung"
wenigstens auch mal definiert werden (in anderen Skripten werden sie einfach,
wie selbstverständlich, verwendet...)
Wobei da in Definition 5.2 sicher [mm] $x^{(0)} \in [/mm] ZB$ stehen sollte, und kurz vor der Definition
von ZB das (N) eigentlich (NB) heißen sollte...

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Dualisierungsproblem: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Sa 04.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Diskrete Optimierung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 10h 07m 2. fred97
UAnaR1FunkDiff/Polynomfunktion differenzierba
Status vor 10h 20m 1. Stephan30
Maxima/Indizes zählen mit Funktion
Status vor 11h 56m 1. mathenoob3000
UStoc/Markov Kette: Definitionen
Status vor 14h 57m 1. tc_engineer
Algebra/Hash für Bloom-Filter
Status vor 16h 39m 4. Diophant
ULinASon/Lineare Optimierung
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]