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E-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:47 Fr 02.03.2012
Autor: Hans80

Aufgabe
Ich verstehe einen Teil der unteren Gleichungskette nicht. (Den habe ich rot markiert.)


Guten Morgen!

Ich verstehe bei folgenden Umformungen nicht wie man auf den [mm] \red{ROTEN} [/mm] Term kommt.

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n}) \cdot [\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1}]^{-1} [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n}) \cdot [\limes_{n\rightarrow\infty}(\red{\bruch{n+1}{n})^{n}}]^{-1} [/mm]

Speziell begreife ich auch nicht voher dieses "+" plötzlich kommt.

Ich wäre dankbar, wenn mir dass jemand genauer erläutern könnte.

Gruß
Hans

        
Bezug
E-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:01 Fr 02.03.2012
Autor: statler

Guten Morgen!

> Ich verstehe einen Teil der unteren Gleichungskette nicht.
> (Den habe ich rot markiert.)

> Ich verstehe bei folgenden Umformungen nicht wie man auf
> den [mm]\red{ROTEN}[/mm] Term kommt.
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\bruch{1}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n})^n=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n}) \cdot [\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1}]^{-1}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n-1}{n}) \cdot [\limes_{n\rightarrow\infty}(\red{\bruch{n+1}{n})^{n}}]^{-1}[/mm]
>  
> Speziell begreife ich auch nicht voher dieses "+"
> plötzlich kommt.
>  
> Ich wäre dankbar, wenn mir dass jemand genauer erläutern
> könnte.

Vielleicht so:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1} [/mm] =
[mm] \limes_{n-1\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1} [/mm]
Jetzt eine Variablentransformation n-1 = m oder n = m+1
= [mm] \limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{m+1}{m})^{m} [/mm]
und jetzt noch eine Variablentransformation n = m
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+1}{n})^{n} [/mm]

Gruß aus HH-Harburg
Dieter


Bezug
                
Bezug
E-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Fr 02.03.2012
Autor: Hans80

Hallo!

Vielen Dank statler!
Auf die (doch sehr elegante) Lösung wäre ich in 100 Jahren nicht gekommen.

>  
> Vielleicht so:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1}[/mm] =
>  [mm]\limes_{n-1\rightarrow\infty}(\bruch{n}{n-1})^{n-1}[/mm]
>  Jetzt eine Variablentransformation n-1 = m oder n = m+1
>  = [mm]\limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{m+1}{m})^{m}[/mm]
>  und jetzt noch eine Variablentransformation n = m
>  = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{n+1}{n})^{n}[/mm]

Gruß Hans

Bezug
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