Einheitswurzeln in Q(ζ_p) < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für jede Primzahl p die Menge der in [mm] \mathds{Q}(\zeta_p) [/mm] enthaltenen Einheitswurzeln durch [mm] \{\pm \zeta^k_p | k \in \mathds{Z} \} [/mm] gegeben ist.
Verwenden Sie hierzu, dass [mm] [\mathds{Q}(\zeta_n) [/mm] : [mm] \mathds{Q}] [/mm] = [mm] \varphi(n) [/mm] für alle n [mm] \geq [/mm] 1 gilt (Irreduzibilität des n-ten Kreisteilungspolynoms), also die Gruppe aller Einheitswurzeln in [mm] \mathds{Q}(\zeta_p) [/mm] endlich, und damit zyklisch ist. |
Hallo Leute,
ich habe diese Frage auch auf www.matheplanet.de gestellt (leider gibt es keinen direkten Link zu dem Thread).
Und zwar schrieb ich im Eröffnungspost, dass ich schon mit dem Hinweis nicht klar komme.
Wieso folgt aus der Irreduzibilität des n-ten Kreisteilungspolynoms, dass die Gruppe ALLER Einheitswurzeln in [mm] \mathds{Q}(\zeta_p) [/mm] endlich, und damit zyklisch ist?
Jemand hat dann gemeint, dass ich den Tipp vergessen und es gleich direkt zeigen soll. Ich soll also [mm] \zeta_n \in \mathbb{Q}(\zeta_p) [/mm] annehmen und dann zeigen, dass dadurch schon n=2 oder n=p (oder n=2p für p > 2) folgt.
Naja, wenn [mm] \zeta_n \in \mathbb{Q}(\zeta_p) [/mm] gilt, dann gilt auch [mm] \mathbb{Q}(\zeta_n) \subseteq \mathbb{Q}(\zeta_p) [/mm] und unter Berücksichtung von [mm] [\mathds{Q}(\zeta_n) [/mm] : [mm] \mathds{Q}] [/mm] = [mm] \varphi(n) [/mm] erhalte ich mit der Gradformel: [mm] \varphi(n) [/mm] / [mm] \varphi(p)=p-1
[/mm]
Leider weiß ich nicht, wie ich da weiterschließen sollte, um brauchbare Informationen über n zu erhalten, geschweige denn, ober dieser Weg überhaupt zielführend ist.
Da mir auf dem Matheplaneten nun schon seit vier Tagen niemand eine Antwort gibt, hoffe ich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Sa 20.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also was du weißt ist, dass [mm] \zeta_p [/mm] Nullstelle des über [mm] \IQ [/mm] irreduziblen Polynoms $f = [mm] x^{p-1} [/mm] + [mm] x^{p-2}+...+ [/mm] x + 1$ ist.
Ebenfalls weißt du, dass [mm] \zeta_p^p [/mm] = 1 ist (p-te Einheitswurzel). Also ist z.B. ($p>2$): [mm] $\zeta_p^{p+2} [/mm] = [mm] \zeta_p^2$, [/mm]
ebenso ist doch z.B. für $p > 3$: [mm] \zeta_p^{-p-4} [/mm] = [mm] \zeta_p^{-(p+4)} [/mm] = [mm] \zeta_p^{(p+4)^{-1}} [/mm] = [mm] \zeta_p^{4^{-1}} [/mm] = [mm] \zeta_p^{p-4}, [/mm] wegen [mm] \zeta_p^4*\zeta_p^{p-4}= \zeta_p^p [/mm] = 1 d.h. doch, dass
[mm] \{\zeta_p^k|k \in \IZ\} \subseteq \{\zeta_p^j|0\le j < p\} [/mm] ist. Naja und [mm] \{\zeta_p^j|0\le j < p\} [/mm] ist die Gruppe aller Einheitswurzeln in [mm] \IQ(\zeta_p), [/mm] diese ist endlich und zyklisch!
P.s.: f ist irreduzibel und separabel, die Nullstellen sind also paarweise verschieden und von der Form [mm] \zeta_p^k, [/mm] mit $k [mm] \in \{1,...,p-1\}$
[/mm]
Hoffe das hilft dir weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:59 Sa 20.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, hab mir grad den Beitrag bei Matheplanet angeguckt... Es ist nicht zu zeigen, dass [mm] \IQ(\zeta_p) [/mm] eine n-te Einheitswurzel enthält...
Grüße
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Hallo teo,
danke für die schnelle Antwort!
Das [mm] \{\zeta_p^j|0\le j < p\} [/mm] wirklich die Menge der in [mm] \IQ(\zeta_p) [/mm] enthaltenen Einheitswurzeln ist, müsste man doch erst noch zeigen, oder?
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Sa 20.10.2012 | | Autor: | teo |
Hallo, ja der Beweis geht dann andersrum.
Mit dem Hinweis kannst du zeigen, wie die Gruppe der Einheitswurzeln in [mm] \IQ(\zeta_p) [/mm] ausschaut (Es kann sich hierbei ja nur um die p-ten Einheitswurzel handeln, da für alle $q [mm] \neq [/mm] p$, [mm] $\zeta_q \notin \IQ(\zeta_p)$ [/mm] gilt.(Deswegen war der Kommentar bei Matheplanet auch nicht zielführend)) Dabei siehst du ja, dass diese endlich und zyklisch ist. Das benutzt du dann um die Gleichheit der Mengen [mm] $\{\zeta_p^j|0 \le j < p\}$ [/mm] und [mm] $\{\zeta_p^k |k \in \IZ\}$ [/mm] zu zeigen.
Grüße
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ok danke, ich hab jetzt nen vollständigen Beweis zusammenbekommen 
Viele Grüße
Anfänger
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