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Endomorphismus und Sk.prod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:49 Do 04.07.2013
Autor: rollroll

Aufgabe
Sei V= [mm] \IC^2 [/mm] mit dem Standardskalarprodukt <x,y>= [mm] \summe_{j=1}^{2} x_j \overline{y}_j [/mm] . Sei f der durch Multilplikation mit A= [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } [/mm] gegebene Endomorphismus von V. Zeige, dass f normal ist.

Hallo,

zu zeigen, dass ein Endomorphismus bzw eine Matrix normal ist, ist kein Problem. Ich verstehe aber den Aufgabentext nicht, d.h. wie sieht denn die Matrix aus von der ich prüfen soll, ob sie normal ist?

Danke schonmal!

        
Bezug
Endomorphismus und Sk.prod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:11 Do 04.07.2013
Autor: fred97


> Sei V= [mm]\IC^2[/mm] mit dem Standardskalarprodukt <x,y>=
> [mm]\summe_{j=1}^{2} x_j \overline{y}_j[/mm] . Sei f der durch
> Multilplikation mit A= [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & 1 }[/mm] gegebene
> Endomorphismus von V. Zeige, dass f normal ist.
>  Hallo,
>  
> zu zeigen, dass ein Endomorphismus bzw eine Matrix normal
> ist, ist kein Problem. Ich verstehe aber den Aufgabentext
> nicht, d.h. wie sieht denn die Matrix aus von der ich
> prüfen soll, ob sie normal ist?


Wo ist das Problem ? Zeige : $A= [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } [/mm] $ ist normal

FRED

>  
> Danke schonmal!


Bezug
                
Bezug
Endomorphismus und Sk.prod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Do 04.07.2013
Autor: rollroll

Mich verwirrt nur der Aufgabentext, weil da steht: durch Multiplikation mit A  gegebener Endomorphismus und weil extra noch das Skalarprodukt angegeben ist... Wäre einfach nur die Matrix gegeben wärs klar...

Bezug
                        
Bezug
Endomorphismus und Sk.prod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Do 04.07.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> Mich verwirrt nur der Aufgabentext, weil da steht: durch
> Multiplikation mit A  gegebener Endomorphismus und weil
> extra noch das Skalarprodukt angegeben ist... Wäre einfach
> nur die Matrix gegeben wärs klar...

Ein Endomorphismus f ist normal, wenn $f [mm] \circ f^{\*} [/mm] = [mm] f^{\*} \circ [/mm] f$, wobei $f$ die Adjungierte von $f$.

Für die Definition einer Adjungierten benötigt man aber ein Skalarprodukt!


Du möchtest nun die Normalität von f anhand von seinen Darstellungsmatrizen überprüfen. Beachte: Ist $A$ eine Darstellungsmatrix von $f$ bzgl. einer Orthonormalbasis, dann gilt:

$f$ normal [mm] \gdw [/mm] $A [mm] A^{\*} [/mm] = [mm] A^{\*} [/mm] A$.

Du kannst nun dieses Lemma benutzen, weil $f$ dir bzgl. der Standardbasis gegeben ist (das liest man aus: Sei f gegeben durch Multiplikation mit A) und die Standardbasis eine Orthonormalbasis bzgl. des gegebenen Skalarprodukts ist.


Quintessenz: Die Angabe des Skalarprodukts ist sehr wichtig, denn nur wenn die Darstellungsmatrix von f bzgl. einer Orthonormalbasis des Skalarprodukts gegeben ist, kann das einfache Kriterium mit der Darstellungsmatrix zur Überprüfung der Normalität von f benutzt werden.


Viele Grüße,
Stefan

Bezug
                                
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Endomorphismus und Sk.prod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:20 Di 09.07.2013
Autor: rollroll

Hallo nochmal,

also A ist normal, weil [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } [/mm] ist, richtig?

Aber A ist nicht selbstadjungiert, weil [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } \not= \pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 } [/mm]

Und f hat die Eigenwerte 0 und 2 (char Poly: [mm] x^2-2x). [/mm] Ist das so ok?

Bezug
                                        
Bezug
Endomorphismus und Sk.prod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:57 Mi 10.07.2013
Autor: fred97


> Hallo nochmal,
>  
> also A ist normal, weil [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & 1 }[/mm] ist,
> richtig?

Ja


>  
> Aber A ist nicht selbstadjungiert, weil [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & 1 } \not= \pmat{ 1 & -i \\ -i & 1 }[/mm]

Ja


>  
> Und f hat die Eigenwerte 0 und 2 (char Poly: [mm]x^2-2x).[/mm]



Das stimmt nicht !

FRED


> Ist
> das so ok?


Bezug
                                                
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Endomorphismus und Sk.prod.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Mi 10.07.2013
Autor: rollroll

Was genau stimmt denn ab den Eigenwerten nicht?

Bezug
                                                        
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Endomorphismus und Sk.prod.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Mi 10.07.2013
Autor: meili

Hallo,

> Was genau stimmt denn ab den Eigenwerten nicht?

Ein kleiner Vorzeichenfehler beim charakteristischen Polynom.

A = $ [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & 1 } [/mm] $

char. Polynom: [mm] $(1-x)^2-i*i [/mm] = 1 - 2x + [mm] x^2 [/mm] +1$

Gruß
meili

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