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Erraten von Ergebnissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Di 02.11.2010
Autor: az118

Aufgabe
Eine beliebige dreistellige Zahl z wird aufgeschrieben, deren erste und letzte Ziffer sich um mindestens zwei unterscheiden.
Anschließend wird eine neue Zahl durch Umkehren der Reihenfolge der Ziffern von z gebildet und die kleinere von der größeren Zahl subtrahiert.
Zur Differenz d wird dann die Zahl addiert, die durch Umkehren der Reihenfolge der Ziffern von d entsteht.

Es gibt zwei Varianten zur Begründung. Finde sie heraus.

Hallo, ich habe das jetzt mal mit verschiedenen zahlen gemacht und als ergebnis immer 1089 raus.
Mit der Begründung hab ich aber so meine Probleme.
Ich habe es so versucht:

1. Variante

9>a>b>c>0

z=100a+10b+c
z'=100c+10b+a    Umkehrung von z

d=z-z'
d=99(a-c)
d'=99(c-a)             Umkehrung von d
d-d'=0  ???

Und das kann ja nicht hinkommen...was mache ich aber falsch?

        
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:43 Di 02.11.2010
Autor: fred97


> Eine beliebige dreistellige Zahl z wird aufgeschrieben,
> deren erste und letzte Ziffer sich um mindestens zwei
> unterscheiden.
> Anschließend wird eine neue Zahl durch Umkehren der
> Reihenfolge der Ziffern von z gebildet und die kleinere von
> der größeren Zahl subtrahiert.
> Zur Differenz d wird dann die Zahl addiert, die durch
> Umkehren der Reihenfolge der Ziffern von d entsteht.
>  
> Es gibt zwei Varianten zur Begründung

Begründung von was ?

> . Finde sie heraus.


Was ????



>  Hallo, ich habe das jetzt mal mit verschiedenen zahlen
> gemacht und als ergebnis immer 1089 raus.
>  Mit der Begründung hab ich aber so meine Probleme.
>  Ich habe es so versucht:
>  
> 1. Variante
>  
> 9>a>b>c>0
>  
> z=100a+10b+c
>  z'=100c+10b+a    Umkehrung von z
>  
> d=z-z'
>  d=99(a-c)
>  d'=99(c-a)             Umkehrung von d
>  d-d'=0  ???
>  
> Und das kann ja nicht hinkommen...was mache ich aber
> falsch?


Bezug
                
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Di 02.11.2010
Autor: az118

Ich denke eine Begründung oder ein Beweis warum immer 1089 raus kommt.

hab grad ein Fehler gesehen,ganz unten muss d+d' stehen...ändert aber auch nix an mein Problem :(

Bezug
        
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Erraten von Ergebnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Di 02.11.2010
Autor: MaRaQ

Hallo az118,

das ist eine beliebte Aufgabe, da gibt es ein paar kleinere Tricks und Kniffe, die man anwenden kann.

Was du schon selbst herausgefunden hast: Eine beliebige dreistellige Zahl lässt sich als z = 100*a + 10*b + c schreiben. Ihre Umkehrung hast du richtig mit z' = 100*c + 10*b + a bezeichnet.

Hierbei gilt laut Aufgabenstellung: a ist ungleich c und die Differenz aus a und c ist betragsmäßig größer oder gleich 2.

Nun nimmst du weiterhin richtig an, dass eine der beiden Zahlen folgerichtig größer (bzw. kleiner) sein muss, als die anderen. Nehmen wir also mal an, z' < z.

Wir ziehen laut Algorithmus die kleinere von der größeren Zahl ab und erhalten eine neue Zahl, die wir jetzt einfach mal wie du es schon gemacht hast, d nennen.

d = z - z' = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a)

Rechnen wir das aus und vereinfachen so weit wie möglich:

d = 99(a-c)

Nun solltest du dir mal veranschaulichen, wie diese Zahl n aussieht, sprich, alle möglichen Ergebnisse aufschreiben. Tipp: Das sind nur 7 verschiedene Zahlen, die Differenz aus a und c ist definiert und kann nur ganz bestimmte Werte annehmen. ;-)

Du wirst ein Muster feststellen, mit dessen Hilfe du auch diese Zahl (ähnlich der Ausgangszahl) wieder allgemein schreiben kannst, aufgeteilt in Hunderter-, Zehner und Einerstelle. Diese drehst du wieder um, addierst beide - und erhälst wie von Zauberhand die 1089, das sei schon mal verraten. ;-)

Bezug
                
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Erraten von Ergebnissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:10 Di 02.11.2010
Autor: az118

ok ich habe alle 7 möglichkeiten aufgeschrieben, nist also 198

n=198=100d+10e+f
n'=100f+10e+d

n+n'=101d+20e+101f

setz ich jetzt die zahlen für d,e,f ein:

101*1+20*9+101*8=1089

ist das so richtig?

Bezug
                        
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Di 02.11.2010
Autor: MaRaQ


> ok ich habe alle 7 möglichkeiten aufgeschrieben, nist also
> 198

Das ist ja nur eines der möglichen Ergebnisse. Schreib mal alle nebeneinander. Was fällt dir dabei auf?

> n=198=100d+10e+f
>  n'=100f+10e+d
>  
> n+n'=101d+20e+101f
>  
> setz ich jetzt die zahlen für d,e,f ein:
>  
> 101*1+20*9+101*8=1089
>  
> ist das so richtig?

Das ist so richtig. Das kannst du natürlich für alle möglichen Zahlen so vorrechnen, damit hättest du das gezeigt.

Oder du machst es für alle Zahlen gleichzeitig, indem du ihr "Muster" erkennst: (a-c) = {2,3,4,5,6,7,8}

d = 99*(a-c) = {198,297,396,495,594,693,792}

Nun, du siehst wahrscheinlich selbst: Die Zehnerstelle ist immer 9.
Was gilt noch? Die Einerstelle + die Hunderterstelle ergibt ebenfalls immer 9.

d = 100x + 10y + z

Wir wissen nun: y ist immer 9
Und wir wissen: x + z = 9, also z = 9-x
Außerdem ist x = a, also das mit dem wir die ganze Zeit rechnen.

d = 100a + 90 + (9-a)

d' = 100(9-a) + 90 + a

Wenn du nun d und d' addierst...?

Bezug
                                
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 Di 02.11.2010
Autor: az118

Ok das hab ich verstanden. addier ich jetzt d+d' komm ich zu 1089.

ich habe es jetzt mal mit der 2. variante,die ich ja auch machen soll, probiert.
da komm ich aber auch nicht weiter :(

z=abc
z'=cba
z-z'=abc-cba

a und c sind klar...und für b müsste ich ja jetzt alles von 0 bis 9 einsetzen...komm dann auch für d wieder auf 198 und zum schluß auf 1089.nur weiß ich nicht, wie ich das allgemein zeigen kann?

Bezug
                                        
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Di 02.11.2010
Autor: MaRaQ


> Ok das hab ich verstanden. addier ich jetzt d+d' komm ich
> zu 1089.
>  
> ich habe es jetzt mal mit der 2. variante,die ich ja auch
> machen soll, probiert.
>  da komm ich aber auch nicht weiter :(
>  
> z=abc
>  z'=cba
>  z-z'=abc-cba
>  
> a und c sind klar...und für b müsste ich ja jetzt alles
> von 0 bis 9 einsetzen...komm dann auch für d wieder auf
> 198 und zum schluß auf 1089.nur weiß ich nicht, wie ich
> das allgemein zeigen kann?

An dieser Stelle gibt es einen kleinen Trick, wenn du

[mm]\vmat{ & a & b & c \\ - & c & b & a } [/mm]

erreicht hast, schreibe deine erste Zahl etwas um. Wenn du a um 1 verringerst, b um 9 erhöhst und c um 10, dann hast du ja in der Summe die gleiche Zahl wieder. (du nimmst vorne 100 weg, gibst in der Mitte 90 und am Ende 10 wieder drauf).

Also:


[mm]\vmat{ & a & b & c \\ - & c & b & a } = \vmat{ & a-1 & b+9 & c+10 \\ - & c & b & a }[/mm]

Das Ergebnis dieser Subtraktion ist also die Zahl mit der
Hunderterstelle: a-1-c
Zehnerstelle: 9
Einerstelle: c+10-a

Diese kannst du jetzt wiederum umdrehen und erhältst:

[mm]\vmat{ & a-1-c & 9 & c+10-a \\ + & c+10-a & 9 & a-1-c }[/mm]

Und fertig. ;-)

P.S.: Korrektur. Da muss natürlich addiert werden im letzten Schritt.

Bezug
                                                
Bezug
Erraten von Ergebnissen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:18 Di 02.11.2010
Autor: az118

Ok dankeschön

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