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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Erwartungswert berechnen
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Erwartungswert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Mi 02.12.2015
Autor: Peter_123

Hallo,

[mm] $\overline{\mathbb{E}}$ [/mm] ist der Erwartungswert unter dem Maß Q.
[mm] $\mathbb{E}$ [/mm] unter dem Maß P.
P << Q
Ich möchte diesen Erwartungswert berechnen - wobei X ein P - Martingal ist


[mm] $\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}]$ [/mm]

Da Martingale konstanten Erwartungswert besitzen ist [mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = c$

also [mm] $\overline{\mathbb{E}}[c|F_{s}]$ [/mm] , da eine Konstante aber ua von der Filtration ist folgt

[mm] $\overline{\mathbb{E}}[c|F_{s}]$= [/mm] c ?

Stimmt das so ?

lg

        
Bezug
Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:33 Mi 02.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Ich möchte diesen Erwartungswert berechnen - wobei X ein
> P - Martingal ist
>  
>
> [mm]\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}][/mm]

[mm] $\mathbb{E}[X_{t}]$ [/mm] ist eine relle Zahl und damit immer [mm] F_s [/mm] meßbar. Daher ist [mm]\overline{\mathbb{E}}[\mathbb{E}[X_{t}]|F_{s}] = \mathbb{E}[X_{t}][/mm] egal ob [mm] X_t [/mm] ein Martingal ist, oder nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Mi 02.12.2015
Autor: Peter_123

Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm] $X_{s}$ [/mm] rauskommen - kann man das eventuell noch über die Martingaleigenschaft von X begründen? (der obige Erwartungswert soll für s<t bestimmt werden)

sicher gilt ja, [mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[X_t|F_s]$ [/mm] da Martingale ja konstante Erwartung haben...
und somit

[mm] $\mathbb{E}[X_{t}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}[X_t|F_s]=X_s$ [/mm]



passt das ?


Lg Peter


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Erwartungswert berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 Mi 02.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm]X_{s}[/mm] rauskommen

das wird es nie, es sei denn [mm] (X_t) [/mm] ist konstant.

> sicher gilt ja, [mm]\mathbb{E}[X_{t}] = \mathbb{E}[X_t|F_s][/mm] da Martingale ja konstante Erwartung haben...

Na das gilt ganz sicher nicht.
Im Allgemeinen ist für Martingale [mm] $\mathbb{E}[X_t|F_s] [/mm] = [mm] X_s \not= \mathbb{E}[X_{t}] [/mm] $

Bevor du nochmehr Unsinn postest, solltest du vielleicht mal die vollständige Frage abschreiben! Dann kann man dir auch besser helfen.

Gruß,
Gono

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Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Mi 02.12.2015
Autor: Thomas_Aut


> Hiho,
>  
> > Ja stimmt, das ist mir klar - es sollte aber [mm]X_{s}[/mm]
> rauskommen
>  
> das wird es nie, es sei denn [mm](X_t)[/mm] ist konstant.

Hallo Gono,
Oder die Maße sind äquivalent zueinander - dann kommt tatsächlich [mm] X_{s} [/mm] raus ... als Folge von Radon-Nikodym / Bayes.
ansonsten ohne weitere Infos keine Chance. :)

>  
> > sicher gilt ja, [mm]\mathbb{E}[X_{t}] = \mathbb{E}[X_t|F_s][/mm] da
> Martingale ja konstante Erwartung haben...
>
> Na das gilt ganz sicher nicht.
>  Im Allgemeinen ist für Martingale [mm]\mathbb{E}[X_t|F_s] = X_s \not= \mathbb{E}[X_{t}][/mm]
>  
> Bevor du nochmehr Unsinn postest, solltest du vielleicht
> mal die vollständige Frage abschreiben! Dann kann man dir
> auch besser helfen.
>  
> Gruß,
>  Gono

Lg

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Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:47 Mi 02.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Oder die Maße sind äquivalent zueinander - dann kommt
> tatsächlich [mm]X_{s}[/mm] raus ... als Folge von Radon-Nikodym /
> Bayes.

na das zeige mir mal bitte ;-)

Gruß,
Gono

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Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Mi 02.12.2015
Autor: Thomas_Aut

Wir nehmen an, dass die Maße P und Q äquivalent zueinander sind - $P [mm] \sim [/mm] Q$

ich schreibe allerdings für den Erwartungswert unter Q nun [mm] $\mathbb{E}_{Q}$ [/mm] , und für P [mm] $\mathbb{E}_{P}$ [/mm]

[mm] Z_{t} [/mm] sei der Dichteprozess zum Maßwechsel.

es sei s < t < T

[mm] $\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] [/mm] =  [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] [/mm]  = [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] [/mm] = [mm] \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} [/mm] = [mm] A_{s} [/mm] $

letzte Gleichheit folgt aus der Martingaleigeschaft des Dichteprozesses und der von A.

Lg

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Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Mi 02.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} = A_{s}[/mm]

beim zweiten Gleichheitszeichen setzt du voraus, was du eigentlich zeigen möchtest, oder wie begründest du das?

Ich sehe nicht, warum im Allgemeinen

[mm] $\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] [/mm] = [mm] \mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] [/mm] $

gelten sollte.
Rechts kann man zwar noch umformen zu [mm] $\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{t}|F_{s}]$, [/mm] aber das erklärt obige Gleichheit auch nicht.

edit: bzw obige Gleichung ist Äquivalent zu:

[mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t [/mm] | [mm] F_s]$ [/mm] und wenn das für alle s gelten soll, dann insbesondere für $s=0$ und wenn [mm] F_0 [/mm] trivial ist müsste also mindestens gelten:

[mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t]$ [/mm]

Und warum sollte der Erwartungswert von A sich unter einem Maßwechsel nicht ändern?

Gruß,
Gono


Bezug
                                                                
Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:41 Mi 02.12.2015
Autor: Thomas_Aut


> Hiho,
>  
> > [mm]\mathbb{E}_{Q}[\mathbb{E}_{P}[A_t]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] =\frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[Z_{T}F_{t}]A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}\mathbb{E}_{P}[Z_{t}A_{t}|F_{s}] = \frac{1}{Z_{s}}Z_{s}A_{s} = A_{s}[/mm]
>  
> beim zweiten Gleichheitszeichen setzt du voraus, was du
> eigentlich zeigen möchtest, oder wie begründest du das?
>  
> Ich sehe nicht, warum im Allgemeinen
>  
> [mm]\mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}]Z_{T}|F_{s}] = \mathbb{E}_{P}[\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{T}|F_{t}]|F_{s}][/mm]

als Konsequenz der Turmeigenschaft. Mann kann natürlich noch einmal eine Bedingung [mm] $|F_{T}$ [/mm] einschieben

>  
> gelten sollte.
> Rechts kann man zwar noch umformen zu
> [mm]\mathbb{E}_{P}[A_{t}Z_{t}|F_{s}][/mm], aber das erklärt obige
> Gleichheit auch nicht.
>  
> Gruß,
>  Gono
>  


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Bezug
Erwartungswert berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:01 Mi 02.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> als Konsequenz der Turmeigenschaft. Mann kann natürlich
> noch einmal eine Bedingung [mm]|F_{T}[/mm] einschieben

dann zeige es doch mal bitte Schritt für Schritt! Sonst kann man den Fehler ja nicht finden ;-)

Ich habe ja schon dargelegt, dass aus der Umformung ebenfalls [mm] $E_P[A_t] [/mm] = [mm] E_Q[A_t]$ [/mm] und das gilt im Allgemeinen eben nicht.

Gruß,
Gono

Bezug
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