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Erzwungene Schwingung: Lösung/Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Do 06.04.2017
Autor: Frank-12

Aufgabe
Eine erzwungene Schwingung wird durch die Differentialgleichung

mx'' + k x   =   F(t)

mit  m > 0,  k > 0,  x(0) = 0  und  x'(0) = 0  beschrieben. Bestimmen Sie die Lösung der Anfangswertaufgabe, wobei

a)  F = konstant = [mm] F_{0} [/mm]

b)  F = at ,    (a > 0)

c)  F = [mm] F_{0} [/mm] * [mm] e^{-\alpha*t} [/mm] ,  [mm] (\alpha [/mm] > 0)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo zusammen,

wie gehe ich hier am besten vor?
Kann jemand bei der Lösung helfen?

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit und Beachtung.

Viele Grüße
Frank

        
Bezug
Erzwungene Schwingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Do 06.04.2017
Autor: HJKweseleit

Nimm an, du hast zwei Lösungen a(t) und b(t) für
mx'' + k x   =   F(t)
gefunden.

Das bedeutet
ma'' + k a   =   F(t) und
mb'' + k b   =   F(t).

Wir subtrahieren nun beide Gleichungen voneinander und erhalten

m(a''-b'') + k (a-b)   =  0 und damit
m(a-b)'' + k(a-b) = 0.

Wir setzen c(t)=a(t)-b(t) und erhalten somit

mc'' + kc = 0

Damit ist c eine Lösung der "homogenen Differenzialgleichung" mx'' + k x   =   0, und es gilt:

Zwei verschiedene Lösungen a und b der inhomogenen Diffgl. unterscheiden sich nur durch eine Lösung c der homogenen Diffgl.

Für diese Aufgabe bedeutet das:

Du suchst alle möglichen Lösungen der homogenen Diffgl.
mx'' + k x   =   0

Dann suchst du für a), b) und c) jeweils EINE spezielle Lösung der inhomogenen Diffgl. mx'' + k x   =   F(t).

Zu dieser addierst du jeweils alle Lösungen der homogenen Diffgl. und erhältst so alle Lösungen für die entsprechende Teilaufgabe.

Tipp:
Bei a) und b) kannst du für die spezielle Lösung einfach mal annehmen, dass x'' = 0 ist und sofort für x eine geeignete Funktion finden.

Bezug
                
Bezug
Erzwungene Schwingung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:40 Fr 07.04.2017
Autor: Frank-12

Hallo HJKweseleit,

vielen Dank für Deine Hinweise. Die will ich erstmal verarbeiten.
Ggf. melde ich mich nochmals, falls ich nicht weiterkomme,

Viele Grüße
Frank


Bezug
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