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Existenz periodischer Orbit: Wie zeigen?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:18 Do 07.01.2016
Autor: sick_of_math

Aufgabe
Betrachte das folgende planara System in Polarkoordinaten:
[mm] $\frac{dr}{dt}=r-r^3+r^2\sin\varphi,~~\frac{d\varphi}{dt}=1+\frac{1}{2} [/mm] r [mm] \cos\varphi$. [/mm]

Zeige: Es gibt mindestens einen periodischen Orbit.

Tipp: Poincaré-Bendixson

Hi, ich hab noch nie mit dem Satz von Poincaré-Bendixson richtig was gemacht, deswegen bin ich ein bisschen überfordert gerade.

Ich kenne den Satz so: Jede nichtleere, kompakte [mm] $\omega$-Limesmenge, [/mm] die kein Equilibrium enthält, ist ein periodischer Orbit.

Also muss man wohl so eine Limesmenge finden...?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

        
Bezug
Existenz periodischer Orbit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:43 Fr 08.01.2016
Autor: dennis2

Hallo, sick_of_math,

bei sowas kann man oft mit einem Korollar arbeiten, das aus dem Satz von Poincaré-Bendixson folgt: Eine abgeschlossene, beschränkte Teilmenge $D$ des Phasenraums [mm] $\mathbb{R}^2$, [/mm] die positiv invariant unter dem Fluss ist, enthält einen Grenzzyklus.

Ein Grenzzyklus ist eine isolierte periodische Lösung.

Für Deine Aufgabe bedeutet das, dass du nach so einer Teilmenge $D$ suchen kannst. Tipp: Kreisring.


VG
Dennis

Bezug
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