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Exponentialungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:13 Do 23/04/2015
Author: JigoroKano

Hallo liebe Community :-),

ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:

1) [mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|} [/mm] für [mm] z\in\IC [/mm]

und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch folgendes abschätzen:

2) [mm] |e^{z}-1| \le2*|z| [/mm] für [mm] |z|\le1 [/mm]

Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll. bzw meine Idee zu 1) war:

[mm] |e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...? [/mm]

und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran gegangen?
Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)

Liebe Grüße
Kano

        
Bezug
Exponentialungleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:24 Fr 24/04/2015
Author: fred97


> Hallo liebe Community :-),
>  
> ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne
> nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:
>  
> 1) [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|}[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm]
>  
> und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch
> folgendes abschätzen:
>  
> 2) [mm]|e^{z}-1| \le2*|z|[/mm] für [mm]|z|\le1[/mm]
>  
> Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll.
> bzw meine Idee zu 1) war:
>  
> [mm]|e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...?[/mm]


Das erste " [mm] \le" [/mm] ist völliger Unsinn. Wäre das richtig , so hätten wir für y=0:

[mm] $|e^x-1| \le e^x-|1|=e^x-1.$ [/mm]

Daraus würde dann folgen:

   [mm] e^x \ge [/mm] 2 für jedes x<0.


>  
> und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den
> Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran
> gegangen?
>  Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)
>  
> Liebe Grüße
>  Kano


Verschaffe Dir die bekannte Reihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] und ziehe 1 ab.

Dann lasse auf [mm] |e^z-1| [/mm] die Dreiecksungleichung für Reihen los. Du kekommst einen Ausdruck der Form

   $blablablubber(|z|)$.

Überzeuge Dich von

  [mm] $1+blablablubber(|z|)-1=e^{|z|}-1$. [/mm]

Das liefert die erste Ungleichung von 1).

Weiter im Text: es ist  $blablablubber(|z|)=|z|*bliiibberblabla(|z|)$

In $biiibberblabla(|z|)$ kommen Ausdrücke der Form

     [mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} [/mm]  ($k [mm] \in \IN_0$) [/mm]

vor. Es gilt

     [mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} \le \bruch{|z|^k}{k!} [/mm]

Das liefert:

      $bliiibberblabla(|z|) [mm] \le e^{|z|}$ [/mm]

und ,schwupp, die 2. Ungleichung in 1) steht da.



Zu 2) Dazu zeige für $|z| [mm] \le [/mm] 1$:

    $bliiibberblabla(|z|) [mm] \le [/mm] bliiibberblabla(1)=e-1 [mm] \le [/mm] 2.$



Gruß FRED

Bezug
                
Bezug
Exponentialungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 12:21 Fr 24/04/2015
Author: JigoroKano

Hey,

danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube ich habe es jetzt:

[mm] |e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1 [/mm]

Ausgehend von [mm] e^{|z|}-1 [/mm] müsste ja jetzt gelten:
[mm] e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|} [/mm]

Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit ja beide Richtungen gezeigt sein...?

zu 2)
aus 1) wissen wir, dass gilt:
[mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2 [/mm]

Müsste doch jetzt so stimmen, oder?

Beste Grüße+schönes Wochenende
Kano

Bezug
                        
Bezug
Exponentialungleichung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 12:48 Fr 24/04/2015
Author: fred97


> Hey,
>  
> danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube
> ich habe es jetzt:
>  
> [mm]|e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1[/mm]
>  
> Ausgehend von [mm]e^{|z|}-1[/mm] müsste ja jetzt gelten:
>  [mm]e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|}[/mm]
>  
> Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit
> ja beide Richtungen gezeigt sein...?
>  
> zu 2)
>  aus 1) wissen wir, dass gilt:
>  [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2[/mm]
>  
> Müsste doch jetzt so stimmen, oder?

Ja

FRED

>  
> Beste Grüße+schönes Wochenende
>  Kano


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