matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisExponentialungleichung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Funktionalanalysis" - Exponentialungleichung
Exponentialungleichung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Exponentialungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Do 23.04.2015
Autor: JigoroKano

Hallo liebe Community :-),

ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:

1) [mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|} [/mm] für [mm] z\in\IC [/mm]

und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch folgendes abschätzen:

2) [mm] |e^{z}-1| \le2*|z| [/mm] für [mm] |z|\le1 [/mm]

Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll. bzw meine Idee zu 1) war:

[mm] |e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...? [/mm]

und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran gegangen?
Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)

Liebe Grüße
Kano

        
Bezug
Exponentialungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:24 Fr 24.04.2015
Autor: fred97


> Hallo liebe Community :-),
>  
> ich komme in einem Paper nicht weiter. Ich würde gerne
> nachweisen, dass diese Abschätzungen gelten:
>  
> 1) [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\le|z|*e^{|z|}[/mm] für [mm]z\in\IC[/mm]
>  
> und dann würde ich exp(z)-1 gerne noch weiter durch
> folgendes abschätzen:
>  
> 2) [mm]|e^{z}-1| \le2*|z|[/mm] für [mm]|z|\le1[/mm]
>  
> Allerdings habe ich keine Idee wie ich da rangehen soll.
> bzw meine Idee zu 1) war:
>  
> [mm]|e^{z}-1|=|e^{x+iy}-1|=|e^{x}*e^{iy}-1|=|e^{x}*(cos(y)+i*sin(y))-1|\le|e^{x}(cos(y)+i*sin(y))|-|1|\le |e^{x}|*|cos(y)+i*sin(y)|-1=...?[/mm]


Das erste " [mm] \le" [/mm] ist völliger Unsinn. Wäre das richtig , so hätten wir für y=0:

[mm] $|e^x-1| \le e^x-|1|=e^x-1.$ [/mm]

Daraus würde dann folgen:

   [mm] e^x \ge [/mm] 2 für jedes x<0.


>  
> und ab hier komme ich nicht weiter. Wie bekomme ich den
> Betrag in die Potenz? Oder bin ich schon völlig falsch ran
> gegangen?
>  Über Hilfe wäre ich euch dankbar :)
>  
> Liebe Grüße
>  Kano


Verschaffe Dir die bekannte Reihenentwicklung von [mm] e^z [/mm] und ziehe 1 ab.

Dann lasse auf [mm] |e^z-1| [/mm] die Dreiecksungleichung für Reihen los. Du kekommst einen Ausdruck der Form

   $blablablubber(|z|)$.

Überzeuge Dich von

  [mm] $1+blablablubber(|z|)-1=e^{|z|}-1$. [/mm]

Das liefert die erste Ungleichung von 1).

Weiter im Text: es ist  $blablablubber(|z|)=|z|*bliiibberblabla(|z|)$

In $biiibberblabla(|z|)$ kommen Ausdrücke der Form

     [mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} [/mm]  ($k [mm] \in \IN_0$) [/mm]

vor. Es gilt

     [mm] \bruch{|z|^k}{(k+1)!} \le \bruch{|z|^k}{k!} [/mm]

Das liefert:

      $bliiibberblabla(|z|) [mm] \le e^{|z|}$ [/mm]

und ,schwupp, die 2. Ungleichung in 1) steht da.



Zu 2) Dazu zeige für $|z| [mm] \le [/mm] 1$:

    $bliiibberblabla(|z|) [mm] \le [/mm] bliiibberblabla(1)=e-1 [mm] \le [/mm] 2.$



Gruß FRED

Bezug
                
Bezug
Exponentialungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:21 Fr 24.04.2015
Autor: JigoroKano

Hey,

danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube ich habe es jetzt:

[mm] |e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1 [/mm]

Ausgehend von [mm] e^{|z|}-1 [/mm] müsste ja jetzt gelten:
[mm] e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|} [/mm]

Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit ja beide Richtungen gezeigt sein...?

zu 2)
aus 1) wissen wir, dass gilt:
[mm] |e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2 [/mm]

Müsste doch jetzt so stimmen, oder?

Beste Grüße+schönes Wochenende
Kano

Bezug
                        
Bezug
Exponentialungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:48 Fr 24.04.2015
Autor: fred97


> Hey,
>  
> danke für deine hilfreichen Ausführungen :) Ich glaube
> ich habe es jetzt:
>  
> [mm]|e^{z}-1|\le|\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\bruch{1}{1}+\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}-1|=|\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{z^{j}}{j!}|\le \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}+1-1\le\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}-1=e^{|z|}-1[/mm]
>  
> Ausgehend von [mm]e^{|z|}-1[/mm] müsste ja jetzt gelten:
>  [mm]e^{|z|}-1\le e^{|z|}=1+|z|+\summe_{j=2}^{\infty}\bruch{|z|^{j}}{j!}=|z|*\vektor{\bruch{|z|^{-1}}{0!}+\bruch{1}{1!}+...}=|z|*\summe_{j=0}^{\infty}\bruch{|z|^{j-1}}{j!}\underbrace{=}_{j=k+1}|z|*\summe_{k+1=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k+1)!}\le|z|*\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{|z|^{k}}{(k)!}=|z|*e^{|z|}[/mm]
>  
> Da es sich um Äquivalenzumformungen handelt müssten damit
> ja beide Richtungen gezeigt sein...?
>  
> zu 2)
>  aus 1) wissen wir, dass gilt:
>  [mm]|e^{z}-1|\le e^{|z|}-1\underbrace{\le}_{|z|\le1}e^{1}-1\le2[/mm]
>  
> Müsste doch jetzt so stimmen, oder?

Ja

FRED

>  
> Beste Grüße+schönes Wochenende
>  Kano


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 50m 2. fred97
UFuTh/Reihe divergiert
Status vor 55m 26. fred97
UAnaR1FunkInt/Satz zu Integralen
Status vor 7h 55m 9. Paivren
UFuTh/Isolierte Singularität bestimm
Status vor 8h 35m 2. matux MR Agent
SStoc/fast sichere Konvergenz
Status vor 13h 12m 9. bla234
UStoc/Varianz Schätzer ausrechnen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]