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Forum "Funktionalanalysis" - Extrema - FKt mehrerer Var
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Extrema - FKt mehrerer Var: Wahl von D für Polarkoordinate
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Fr 26.02.2016
Autor: SoWhat

Aufgabe
D ={(x, y) [mm] \in \IR^2 [/mm] | x + y [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] = 3}
[mm] f_{(x,y)}= [/mm] exp(x+y)

Bestimme Minimum und Maximum. Global?

Hallo,
wenn man sich D mal aufzeichnet, sieht man, dass es sich um einen Halbkreis r= [mm] \sqrt{3} [/mm] mit mittelpunkt (0,0) und eine Ursprungsgerade (winkelhalbierende 2./4. quadrant) handelt. In D liegt somit nur der Halbkreis "oberhalb" der Gerade inkl. der beiden Schnittpunkte.

Abgeschlossenes Intervall, Funktion stetig-->Weierstraß. Da D Kreisbogen wären Polarkoordinaten die Lösung.
So habe ich das zumindest gelernt.

Wenn ich die Polarkoordinaten definiere, weiß ich aber nicht, auf welches Intervall ich den Winkel [mm] \phi [/mm] definieren soll. Standardmäßig hatte ich immer [mm] \phi \in [0;2\pi] [/mm] gewählt.
In der Lösung zu dieser Aufgabe wird aber das Intervall [mm] [-\bruch{\pi}{4};\bruch{3\pi}{4}] [/mm] gewählt.

Hat dies einen besonderen Grund? Worauf muss man achten, wenn man bei diesen Aufgaben Polarkoordinaten verwendet und [mm] \phi [/mm] definieren will?


Danke und liebe Grüße




        
Bezug
Extrema - FKt mehrerer Var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Fr 26.02.2016
Autor: chrisno

Die übliche Definition für [mm] $\phi$ [/mm] ist von der x-Achse ausgehend im Uhrzeigersinn. Wenn Du das anders machen machen möchtest, musst Du aufpassen, was sich sonst noch alles durch die Umdefinition ändert.

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Extrema - FKt mehrerer Var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:06 Fr 26.02.2016
Autor: SoWhat

Sorry, aus der Antwort werde ich leider nicht schlau :(
Wenn ich x:= [mm] rcos(\phi) y:=rsin(\phi) r\in\IR^+_{0} [/mm] definiere, was wäre dann der Definitionsbereich für [mm] \phi? [/mm]
Standardmäßig doch [mm] [0;2\pi]? [/mm]

Hauptproblem: Wieso benutzt die Lösung [mm] D:=[-\bruch{\pi}{4};\bruch{3\pi}{4}]? [/mm]


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Extrema - FKt mehrerer Var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Fr 26.02.2016
Autor: chrisno


>  ....
> Hauptproblem: Wieso benutzt die Lösung
> [mm]D:=[-\bruch{\pi}{4};\bruch{3\pi}{4}]?[/mm]
>  

Für die anderen Winkel ergibt das doch den Teil des Kreises unter der Geraden. Der ist aber ausgeschlossen.


Bezug
                                
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Extrema - FKt mehrerer Var: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Sa 27.02.2016
Autor: SoWhat


> >  ....

>  > Hauptproblem: Wieso benutzt die Lösung

> > [mm]D:=[-\bruch{\pi}{4};\bruch{3\pi}{4}]?[/mm]
>  >  
> Für die anderen Winkel ergibt das doch den Teil des
> Kreises unter der Geraden. Der ist aber ausgeschlossen.
>  

Könntest du noch ein wenig ausholen? Ich denke ich bin auf dem Weg es zu vrestehen. Ich formuliere die Frage nochmal um:

Welches Intervall betrachte ich, wenn ich [mm] \phi \in [0;2\pi] [/mm] betrachte?
Und was genau ändert sich, wenn ich diese Definitionsmenge von [mm] \phi [/mm] verändere?

Hieraus abzuleiten: wieso betrachte ich auf [mm] [0;2\pi] [/mm] den falschen Bereich??


Danke für deine Mühe.

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Extrema - FKt mehrerer Var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:36 Sa 27.02.2016
Autor: angela.h.b.

Hallo,

alle (x,y), die [mm] x^2+y^2=3 [/mm] lösen,
sind Punkte die auf einem Kreis des Radius [mm] r=\wurzel{3} [/mm] um den Ursprung liegen.

In Polarkoordinaten haben wir: [mm] (x,y)=(\wurzel{3}cos\varphi, \wurzel{3}sin{\varphi}), \varphi\in[0,2\pi]. [/mm]

Betrachten wir [mm] (\wurzel{3}cos\varphi, \wurzel{3}sin{\varphi}) [/mm] und lassen [mm] \varphi [/mm] langsam von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen,
so durchlaufen wir die Punkte des Kreises beginnend von dem rechts auf der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn, bis wir schließlich wieder beim Ausgangspunkt ankommen.

Mach Dir das in einer Skizze klar - zeichne unbedingt auch die Zeiger mit ein, die vom Ursprung auf die Punkte zeigen. Der Winkel zwischen Zeiger und x-Achse ist [mm] \varphi. [/mm]

Nun haben wir noch [mm] x+y\ge [/mm] 0 im Rennen.
x+y=0 beschreibt die Punkte, die auf der Winkelhalierenden des 2. und 4. Quadranten liegen.
[mm] x+y\ge [/mm] 0 beschreibt die Punkte, die auf oder oberhalb dieser Geraden liegen.

Zeichne die Gerade ein und markiere die Halbebene, in der die zu betrachtenden Punkte sind.

Du interessierst Dich nun für die Punkte, die gleichzeitig auf dem Kreis und in der richtigen Halbebenen liegen.

Nun durchlaufen wir nochmal die Punkte des Kreises.
für [mm] \varphi=0 [/mm] liegt der Kreispunkt in der besagten Halbebene,
ebenso für [mm] \varphi=\bruch{\pi}{4} [/mm]
und weiter solange, bis wir zu [mm] \varphi=\bruch{3}{4}\pi [/mm] kommen.
Hier ist vorerst der letzte Punkt, der gleichzeitig in der richtigen Halbebene und auf dem Kreis liegt.
Wenn wir weitergehen, kommen wir ins falsche Gebiet,
bis wir für [mm] \varphi=\bruch{7}{4}\pi [/mm] wieder in den markierten Bereich kommen und dort auch bis [mm] \varphi=2\pi [/mm] bleiben.

Für
[mm] \varphi\in[0,\bruch{3}{4}\pi]\cup[\bruch{7}{4}\pi,2\pi] [/mm]
sind wir im erlaubten Bereich,
und etwas behaglicher können wir schreiben
[mm] \varphi\in[-\bruch{1}{4}\pi,\bruch{3}{4}\pi]. [/mm]

LG Angela

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Extrema - FKt mehrerer Var: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:22 Sa 27.02.2016
Autor: SoWhat

Vielen lieben Dank für diese super Erklärung!!!!

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Extrema - FKt mehrerer Var: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Sa 27.02.2016
Autor: fred97

Zu Polarkoordinaten ist ja schon alles gesagt worden. Es geht auch ohne.

Setze g(x,y):=x+y. Dann ist [mm] f=e^g. [/mm]

Die Menge D hast Du richtig interpretiert und gezeichnet.

Dann sollte man "sehen":

min [mm] \{g(x,y): (x,y) \in D\} [/mm] =0. Dieses Minimum wird z.B. in [mm] (\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}, -\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}) [/mm] angenommen.

Weiter ist max [mm] \{g(x,y): (x,y) \in D\} =\wurzel{6}. [/mm] Dieses Maximum wird in  [mm] (\bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}, \bruch{\wurzel{3}}{\wurzel{2}}) [/mm] angenommen.

Fazit:

  1 [mm] \le [/mm] f(x,y) [mm] \le e^{\wurzel{6}} [/mm]  für alle (x,y) [mm] \in [/mm] D.

Das Min. von f auf D ist also=1 und das Max. = [mm] e^{\wurzel{6}} [/mm]

FRED

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Extrema - FKt mehrerer Var: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:24 Sa 27.02.2016
Autor: SoWhat

Top, danke!!! Es ist wichtig zu sehen, dass Polarkoordinaten nur ein Luxus sind und es anders auch geht!

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