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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:26 So 26.08.2007
Autor: MatheSckell

Aufgabe
Bernhard hat noch 20 m Maschendraht übrig. Er möchte damit an der Scheunenwand einen möglichst großen rechteckigen Hühnerhof einzäunen. Welche Maße soll er für Länge und Breite wählen?

Hallo liebes Forum,

diesen Aufgabentyp haben wir in der neunten Klasse mal gelernt. Leider weis ich überhaupt nicht mehr wie das ging. Deswegen kann ich auch keinen Ansatz anbieten.

Vielen Dank für eure Hilfe
MatheSckell

        
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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:37 So 26.08.2007
Autor: Karl_Pech

Hallo MatheSckell,


> Bernhard hat noch 20 m Maschendraht übrig. Er möchte damit
> an der Scheunenwand einen möglichst großen rechteckigen
> Hühnerhof einzäunen. Welche Maße soll er für Länge und
> Breite wählen?


Der Umfang dieses rechteckigen Hühnerhofs soll also 20 m betragen: [mm]20 = 2(a+b)\Leftrightarrow a+b=10[/mm]


Da wir die Fläche des Hühnerhofs maximieren wollen, können wir eine Seite des Rechtecks als konstant voraussetzen und die andere variieren, wodurch wir folgende Flächenfunktion erhalten:


[mm]A(b) = ab = (10-b)b = 10b-b^2[/mm]


Mache nun eine kleine Extremwertbetrachtung dieser Funktion und erhalte die Lösung.



Viele Grüße
Karl




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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:45 So 26.08.2007
Autor: Foreigner23

Man darf es einem 10t-Klässler auch ein bisschen einfacher machen :D

Bezug
                
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Extremwertaufgabe: Alternativlösung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 26.08.2007
Autor: Kroni

Hi,

ich weiß nicht, ob ihr in der 10ten schon ableiten könnt etc.
Du kannst dir auch einfach die Flächenfunktion als Parabel vorstellen (weil ist ja quadratisch) und dir den Scheitelpunkt ausrechnen. Dann brauchst du keine Differentialrechnung.

LG

Kroni



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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:58 So 26.08.2007
Autor: VNV_Tommy

Hallo Karl!

Laut Aufgabenstellung will Bernhard die 20m Maschendraht nutzen, um einen Hühnerhof an der Scheunenwand abzustecken. Ergo: Bernhard kann die 20m für lediglich 3 Seiten des Rechtecks nutzen, da die vierte Seite von der Scheune begrenzt wird.

Gruß,
Tommy

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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:43 So 26.08.2007
Autor: Foreigner23

Wie wäre es mit 2 Bedingungen, die du aufstellst und dann die eine in die andere einsetzt ???

x Länge
y Breite

2x+2y=20    -> 1. Bedingung

möglichst groß: Flächeninhalt: f(a) = x*y

Einsetzen

2x+2y=20   -> y= 10-x

f(a)= x*(10-x)

ableiten und =0 setzen

f'(x)=2*(5-x)

0=2*(5-x)
x=5

y=10-x=5



Also Länge und Breite beide 5 = Quadrat

Quadrat: Beste rechteckige Form mit kleinstem Umfang und größtem Inhalt :D


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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 So 26.08.2007
Autor: VNV_Tommy

Hallo Foreigner!

  

> 2x+2y=20    -> 1. Bedingung

Auch du vergisst, dass der Draht für lediglich drei Seiten des Hühnerhofs genutzt werden muss, da die vierte Seite von der Scheune begrenzt wird.

Im übrigen kann ich nicht recht glauben, dass in der 10.Klasse schon Extremwertbetrachtungen mittels Differentition betrieben werden. Meines Erachtens wäre dies Stoff für die 11.Klasse.

Gruß,
Tommy

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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:09 So 26.08.2007
Autor: Kroni

Hi,

> Im übrigen kann ich nicht recht glauben, dass in der
> 10.Klasse schon Extremwertbetrachtungen mittels
> Differentition betrieben werden. Meines Erachtens wäre dies
> Stoff für die 11.Klasse.

Ebendrum gucke dir mal meine Mitteilung an und die Lösung von Sax, die ohne Differentialrechnung auskommen, und somit eindeutig für die 10 machbar sind.

LG

Kroni

>  
> Gruß,
>  Tommy


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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:26 So 26.08.2007
Autor: VNV_Tommy


> Hi,
>  
> > Im übrigen kann ich nicht recht glauben, dass in der
> > 10.Klasse schon Extremwertbetrachtungen mittels
> > Differentition betrieben werden. Meines Erachtens wäre dies
> > Stoff für die 11.Klasse.
>  
> Ebendrum gucke dir mal meine Mitteilung an und die Lösung
> von Sax, die ohne Differentialrechnung auskommen, und somit
> eindeutig für die 10 machbar sind.

Diese Ansätze (also deiner und der von Sax) sind sicher die richtigen. Mit meinem Posting habe ich lediglich darauf hingewiesen, dass die Lösung mittels Differentiation nicht für die 10.Klasse geeignet sei. Wie du sicher feststellen wirst habe ich die entsprechende Mitteilung fast zeitgleich mit Sax's Antwort gepostet, sodass ich nicht wissen oder ahnen konnte, dass eine derartige Lösung hier schon gegeben wurde. Ich wollte mit meinen Postings lediglich ein Ausufern in die falsche Richtung eingrenzen. ;-)

Gruß,
Tommy

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Extremwertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:01 So 26.08.2007
Autor: Sax

Hi,
es geht für Mittelstufenschüler auch einfacher, übrigens sind die bisherigen Antworten m.E. falsch.
Wegen der Scheunenwand muss der Hühnerhof nur auf drei Seiten einen Zaun bekommen, so dass die Nebenbedingung lautet 2a+b = 20.
In die Zielfunktion A = a*b eingesetzt ergibt sich A = a*(20-2a), was eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 10 und dem Scheitelpunkt (=Maximum) in der Mitte also bei a = 5 darstellt. Die maximale Fläche wird also A = 5*10 = 50.

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Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:00 Mo 27.08.2007
Autor: Foreigner23

Du hast Recht... hab das mit der Wand überlesen ^^ Aber sonst wärs richtig :D

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