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Forum "Uni-Numerik" - Fehlerformel einer Rekursion
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Fehlerformel einer Rekursion: Korrektur bzw. Tipp
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 01:13 Di 14.11.2017
Autor: vwxyz

Aufgabe
Für die Integral:
[mm] I_{n}:=\bruch{1}{e}\integral_{0}^{1}{x^{n}e^{x} dx}, [/mm] n=0,1,2,...

gelten die Rekursionsformeln:
(V) [mm] I_{n}=1-nI_{n-1} [/mm] n=1,2,...

(R) [mm] I_{n-1}=\bruch{1-I_{n}}{n} [/mm] n=N,N-1,...

Diese Rekursion können mit dem Wert [mm] I_{0}=(e-1)/e [/mm] bei (V) bzw. einem [mm] I_{N} [/mm] mit N>0 bei (R) gestartet werden. Es liegen jedoch fehlerbehaftete Startwerte [mm] \overline{I_{0}} [/mm] und [mm] \overline{I_{N}} [/mm] vor. Mit der Gleitpunktarithmetik auf einem Rechner entstehen zusätzlich durch Rundungsfehler die von den exakten Werten abweichenden Ergebnisse [mm] \overline{I_{1}},\overline{I_{2}},... [/mm] bzw. [mm] \overline{I_{N-1}},\overline{I_{N-2}},... [/mm] . In jedem Schritt der Rekursion sind dies ein Fehler bei der Subtraktion und ein Fehler bei der Multiplikation bzw. Division.

a) Benutzen Sie die üblichen Modellvorstellungen für die Gleitpunktarithmetik. Leiten Sie daraus die Rekursionsformel für den Fehler bei (V)

[mm] |\overline{I_{n}}-I_{n}|\le 3\epsilon+n(1+2\epsilon)|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}| [/mm] her.

Leiten Sie außerdem die Rekursionsformel für den Fehler bei (R)

[mm] |\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|\le \bruch{4\epsilon}{n}+\bruch{1}{n}(1+2\epsilon)|\overline{I_{n}}-I_{n}| [/mm] her.

Hinweis: Verwenden Sie eine Linearisierung des Fehlers im Rekursionsschritt. Benutzen Sie zu dem, dass [mm] 0

Ich habe beide Fehlerabschätzungen versucht aber irgendwie habe ich in beiden jeweils ein [mm] \epsilon [/mm] zu viel und finde einfach nicht den Fehler oder den Trick. Vielleicht kann mir ja einer auf die Sprünge helfen:

zu (V):

[mm] |\overline{I_{n}}-I_{n}|=|[1-n*I_{n-1}(1+\epsilon)]*(1+\epsilon)-(1-n*I_{n-1})|=|(1-n*I_{n-1}-n\epsilon *I_{n-1})(1+\epsilon)-1+n*I_{n-1}|=|1-n*I_{n-1}-n\epsilon *I_{n-1}+\epsilon-n\epsilon*I_{n-1}-n\epsilon^{2}*I_{n-1}-1+n*I_{n-1}|=|I_{n-1}*(-n-n\epsilon-n\epsilon-n\epsilon^{2}+n)+\epsilon| [/mm]

Hier füge ich nun imaginäre Nullen hinzu (habe sie mal rot markiert) um bestimmte Terme zu erhalten:

[mm] =|I_{n-1}(-n-2n\epsilon+n+n\epsilon+2n\epsilon+2n\epsilon^{2}-2n\epsilon-n\epsilon^{2}-n\epsilon-2n\epsilon^{2})+\epsilon|=|I_{n-1}(-n(1+2\epsilon)+n(1+\epsilon+2\epsilon+2\epsilon^{2})-3n\epsilon-3n\epsilon^{2})+\epsilon| [/mm]
[mm] =|I_{n-1}(-n(1+2\epsilon)+n((1+\epsilon)(1+2\epsilon))-3n\epsilon-3n\epsilon^{2})+\epsilon|=|I_{n-1}((1+2\epsilon)n*(1+\epsilon-1)-3n\epsilon(1-\epsilon))+\epsilon|=|I_{n-1}((1+2\epsilon)n*(1+\epsilon-1))+\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))| [/mm]

Als nächstes nehme ich die Dreiecksgleichung zur Abschätzung:

[mm] |I_{n-1}((1+2\epsilon)n*(1+\epsilon-1))+\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))|\le |I_{n-1}((1+2\epsilon)n*(1+\epsilon-1))|+|\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))|=|(1+2\epsilon)n|*|I_{n-1}(1+\epsilon-1)|+|\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))| [/mm]
[mm] =(1+2\epsilon)n*|I_{n-1}(1+\epsilon)-I_{n-1})|+|\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))|=(1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))| [/mm]

Somit habe ich den ersten Teil. Im weiteren benutze ich den Hinweis:

[mm] (1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon-I_{n-1}*(-3n\epsilon(1-\epsilon))|\le (1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon-\bruch{1}{n}(-3n\epsilon(1-\epsilon))|=(1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon-(-3\epsilon(1-\epsilon))| [/mm]
[mm] =(1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon+3\epsilon*(1-\epsilon))=(1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|\epsilon+3\epsilon-\epsilon^{2}))\le1+2\epsilon)n*|\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|+|4\epsilon| [/mm]

Und wie ihr seht habe ich nun 4 statt 3 Epsilon.

Das gleich passiert mir bei (R)

Hier habe ich auch wieder folgenden Start:

[mm] |\overline{I_{n-1}}-I_{n-1}|=|\bruch{(1-I_{n}(1+\epsilon)}{n}(1+\epsilon)-\bruch{1-I_{n}}{n}|=|\bruch{(1-I_{n}+\epsilon-\epsilon I_{n})(1+\epsilon)}{n}-\bruch{1-I_{n}}{n}|=|\bruch{1-I_{n}+\epsilon-\epsilon I_{n}+\epsilon-\epsilon I_{n}+\epsilon^{2}-\epsilon^{2} I_{n})-1+I_{n}}{n}|=|\bruch{I_{n}(-1-2\epsilon-\epsilon^{2}+1)+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}| [/mm]

Nun füge ich wieder den Term [mm] +\epsilon+2\epsilon+2\epsilon^{2} [/mm] hinzu und wieder ab und erhalte:

[mm] |\bruch{I_{n}(-1-2\epsilon+\epsilon+2\epsilon+2\epsilon^{2}-\epsilon^{2}+1-\epsilon-2\epsilon-2\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|=|\bruch{I_{n}(1+\epsilon+2\epsilon+2\epsilon^{2}-1-2\epsilon-\epsilon-2\epsilon-\epsilon^{2}-2\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|=|\bruch{I_{n}(1+\epsilon+2\epsilon+2\epsilon^{2}-1-2\epsilon)-I_{n}(\epsilon+2\epsilon+\epsilon^{2}+2\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|=|\bruch{I_{n}((1+2\epsilon)(1+\epsilon-1))+I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}| [/mm]

Hier benutze ich wieder die Dreiecksungleichung:
[mm] |\bruch{I_{n}((1+2\epsilon)(1+\epsilon-1))}{n}+\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|\le|\bruch{I_{n}((1+2\epsilon)(1+\epsilon-1))}{n}|+|\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|=|\bruch{1+2\epsilon}{n}|*|I_{n}(1+\epsilon-1)|+|\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}| [/mm]
[mm] =\bruch{1+2\epsilon}{n}*|I_{n}(1+\epsilon)-I_{n}|+|\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|=\bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+|\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}| [/mm]

Mit dem Hinweis folgt wieder:

[mm] \bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+|\bruch{I_{n}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|\le\bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+|\bruch{\bruch{1}{n+1}(-3\epsilon-3\epsilon^{2})+2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|\le\bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+|\bruch{-3\epsilon-3\epsilon^{2}}{(n+1)*n}|+|\bruch{2\epsilon+\epsilon^{2}}{n}|\le\bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+|\bruch{-3\epsilon}{n}|+|\bruch{2\epsilon}{n}| [/mm]
[mm] =\bruch{1+2\epsilon}{n}*|\overline{I_{n}}-I_{n}|+\bruch{5\epsilon}{n} [/mm]

Auch hier erkennt man wieder das ich das Ergebnis aus der Aufgabenstellung habe nur dass statt 4 bei mir 5 Epsilon heraus kommen.

Kann mir irgendwer helfen meinen Fehler zu finden. Und was meinen die damit, dass ich eine Linearisierung des Fehlers im Rekursionsschritt verwenden muss. Könnte es auch daran liegen?

Vielen Dank im Vorraus.

        
Bezug
Fehlerformel einer Rekursion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:20 Sa 18.11.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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