matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFunktionalanalysisFixpunktiteration
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Funktionalanalysis" - Fixpunktiteration
Fixpunktiteration < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fixpunktiteration: Idee für c)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:20 Mo 10.04.2017
Autor: TheBozz-mismo

Aufgabe
Gegeben ist die nichtlineare Gleichung f(x)=0 mit [mm] f(x)=\bruch{e^{-x}}{3}-\wurzel{x} [/mm]
a) Überführen Sie das Problem in ein Fixpunktproblem und formulieren Sie die Iterationsvorschrift der Fixpunktiteration
b) Zeige, dass das Fixpunktproblem eine eindeutige Lösung im Intervall [0,1] hat.
c) Berechnen vom Startvektor [mm] x^{(0)}=0 [/mm] ausgehend, wieviele Schritte k des Fixpunktverfahren mindestens nötig sind, um einen maximalen Fehler [mm] e_{max}=10^{-2} [/mm] zu garantieren. Nutze die Lipschitzkonstante [mm] q=\bruch{2}{9} [/mm]

Hallo.
Ich präsentiere mal, was ich habe und es wäre nett, wenn mal jemand drüber guckt:

Zu a)
f(x)=0 <=> [mm] e^{-x} [/mm] = 3* [mm] \wurzel{x} [/mm] <=> [mm] \bruch{e^{-2x}}{9}=x [/mm] (Betrag kann man weglassen, da wegen der Wurzel nur positive x-Werte und die 0 zugelassen sind)
Definiere [mm] g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x} [/mm]
Fixpunktiteration wäre dann [mm] x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k} [/mm]

Zu b)
G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist bzgl. der Menge G eine Selbstabb., denn [mm] g(0)=\bruch{1}{9} [/mm] und [mm] g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1 [/mm]
Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm] \sup_{x \in G}\parallel [/mm] Dg(x) [mm] \parallel [/mm] <1
[mm] Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x} [/mm] und in der Norm kann man den e-Term abschätzen <1 und [mm] \bruch{2}{9}<1. [/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.

Zu c)
Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
[mm] x^{(0)}=0 [/mm]
[mm] x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9} [/mm]
[mm] \parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7} [/mm]
Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist? Das ist eine AUfgabe aus einer Klausur, in der man kein Taschenrechner benutzen darf.

Vielen Dank für jede Antwort

Lieben Gruß

TheBozz-mismo

        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mo 10.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  Definiere [mm]g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x}[/mm]
>  Fixpunktiteration wäre dann
> [mm]x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k}[/mm]

[ok]

> Zu b)
>  G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist bzgl. der Menge G eine Selbstabb.,

[ok]

> denn [mm]g(0)=\bruch{1}{9}[/mm] und [mm]g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1[/mm]

Na das reicht noch nicht als Begründung. Wer sagt dir, dass [mm] $g\left(\frac{1}{2}\right)$ [/mm] nicht 2 ist?
Also mindestens ein Argument fehlt da noch als Begründung…


>  Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm]\sup_{x \in G}\parallel[/mm] Dg(x) [mm]\parallel[/mm] <1

Wir sind in [mm] $\IR$, [/mm] da solltest du g' schreiben statt Dg

>  [mm]Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x}[/mm]

[ok]

> und in der Norm

In welcher?

> kann man den  e-Term abschätzen <1

1.) Eher [mm] $\le [/mm] 1$
2.) aber auch hier wie oben: Warum?
Wenn du das allerdings oben begründest, brauchst du das hier nicht mehr machen.

> und [mm]\bruch{2}{9}<1.[/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.

[ok]


>  
> Zu c)
>  Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
>  [mm]x^{(0)}=0[/mm]
>  [mm]x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9}[/mm]
>  [mm]\parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7}[/mm]

[ok]


> Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte
> einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist?

Nein, denn du sollst ja bis zu einer Genauigkeit von 0,01 gehen.
Aber dafür reicht jetzt hier einsetzen, ja!
Man sieht ja recht schnell, dass k=0 oder k=1 nicht ausreichen, wenn du also bei k=2 anfängst, wird das ein kurzes Spiel…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Fixpunktiteration: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:23 Di 11.04.2017
Autor: TheBozz-mismo

Hallo.
Danke für deine Antwort

> Hiho,
>  
> >  Definiere [mm]g(x)=\bruch{1}{9}*e^{-2x}[/mm]

>  >  Fixpunktiteration wäre dann
> > [mm]x^{k+1}=g(x^k)=\bruch{1}{9}*e^{-2x^k}[/mm]
>  
> [ok]
>  
> > Zu b)
>  >  G:=[0,1] ist abgeschlossen und die Abbildung g ist
> bzgl. der Menge G eine Selbstabb.,
> [ok]
>  > denn [mm]g(0)=\bruch{1}{9}[/mm] und [mm]g(1)=\bruch{1}{9e^2}<1[/mm]

>  Na das reicht noch nicht als Begründung. Wer sagt dir,
> dass [mm]g\left(\frac{1}{2}\right)[/mm] nicht 2 ist?
>  Also mindestens ein Argument fehlt da noch als
> Begründung…
>  

Meinst du das Argument, dass das Intervall konvex ist, da es eine Gerade aus Zahlenpunkten ist?

>
> >  Um Kontraktion zu zeigen, zeige ich, dass [mm]\sup_{x \in G}\parallel[/mm]

> Dg(x) [mm]\parallel[/mm] <1
>  Wir sind in [mm]\IR[/mm], da solltest du g' schreiben statt Dg
>  

Ok. Merk ich mir.

> >  [mm]Dg(x)=-\bruch{2}{9}*e^{-2x}[/mm]

>  [ok]
>  
> > und in der Norm
> In welcher?
>  

Ich würde hier die Betragsnorm nehmen, aber spielt ja dann keine Rolle, wenn es ausreicht, dass die Menge konvex ist.

> > kann man den  e-Term abschätzen <1
>  1.) Eher [mm]\le 1[/mm]
>  2.) aber auch hier wie oben: Warum?
> Wenn du das allerdings oben begründest, brauchst du das
> hier nicht mehr machen.
>  
> > und [mm]\bruch{2}{9}<1.[/mm] Also habe ich Kontraktion gezeigt. Der
> Satz von Banach liefert dann die zu zeigende Aussage.
>  
> [ok]
>  
>
> >  

> > Zu c)
>  >  Ich wollte die Aprioriabschätzung benutzen
>  >  [mm]x^{(0)}=0[/mm]
>  >  [mm]x^{(1)}=g(0)=\bruch{1}{9}[/mm]
>  >  [mm]\parallel x^k-x^\* \parallel \le (\bruch{2}{9})^k*\bruch{1}{7}[/mm]
>  
> [ok]
>  
>
> > Nur jetzt bin ich überfragt. Soll ich einfach Werte
> > einsetzen, bis das Ergebnis mindestens 0,1 ist?
> Nein, denn du sollst ja bis zu einer Genauigkeit von 0,01
> gehen.
>  Aber dafür reicht jetzt hier einsetzen, ja!
>  Man sieht ja recht schnell, dass k=0 oder k=1 nicht
> ausreichen, wenn du also bei k=2 anfängst, wird das ein
> kurzes Spiel…
>  

Ok. Also ich habe [mm] x^{2} [/mm] berechnet und bei mir kommt da [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{2}{9}}} [/mm] heraus. Wenn ich nun [mm] x^{(2)}-x^{(1)} [/mm] berechne, dann komme ich auf [mm] \bruch{1}{e^{\bruch{2}{9}}}-\bruch{1}{9}. [/mm] Und ich seh grad nicht, wie ich das per Hand lösen kann.
Oder soll ich alles nochmal in die Apriori-Abschätzung einsetzen?
Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank und lieben Gruß

TheBozz-mismo

> Gruß,
>  Gono


Bezug
                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:26 Di 11.04.2017
Autor: leduart

Hallo
du musst doch nur [mm] (2/9)^k*1/7 [/mm] <0,01 bestimmen also [mm] (2/9)^k<0.07 [/mm] bestimmen und da setzt man mal k=2 ein!
Gruß leduart


Bezug
                                
Bezug
Fixpunktiteration: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:28 Mi 12.04.2017
Autor: TheBozz-mismo

Danke. Ich hab es jetzt gecheckt.
Lieben Gruß
TheBozz-mismo

Bezug
                        
Bezug
Fixpunktiteration: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Di 11.04.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Meinst du das Argument, dass das Intervall konvex ist, da
> es eine Gerade aus Zahlenpunkten ist?

nee, das hat gar nix mit dem Intervall zu tun.
Betrachte doch mal bspw.

$g(x) = [mm] 5\sin(\pi [/mm] x)$ da ist $g(0) = 0$ und $g(1) = 0$. Ist das deswegen eine Selbstabbildung auf $[0,1]$?

>  Oder soll ich alles nochmal in die Apriori-Abschätzung einsetzen?

Du hast doch die Apriori-Abschätzung schon hingeschrieben!
Setz doch mal k=2 ein!

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 8m 1. Austinn
UAnaR1FolgReih/Folge und 1-Norm
Status vor 1h 10m 3. chrisno
SIntRech/Mehrfachintegral
Status vor 4h 23m 1. tobit09
MaßTheo/Sigma-Algebra gesucht
Status vor 20h 41m 3. tobit09
Logik/Intuitionistische Mathematik
Status vor 21h 12m 1. Nichtmathematiker
FunkAna/Fourierreihen auf Lp-Räumen
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]