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Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Fläche Dreieck aus Vektor
Fläche Dreieck aus Vektor < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Fläche Dreieck aus Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Do 29.09.2005
Autor: Fire

Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten
A = (-2; 2; 1) ; B = (4; 4; 0) und C = (0; 4; 5)
a) Ist das Dreieck rechtwinklig? (Begründung!)
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks.


Erstmal:
Vektor a ist die Strecke BC, b die Strecke AC und c die Strecke AB. Korriegiert mich bite wenn ich da jetzt falsch liege.

Aus den Vektoren a, b  und c bilde ich 3 Skalarprodukte die alle [mm] \not=0 [/mm] sind und somit ist das Dreieck ja schonmal nicht rechtwinklig.

Um die Seitenlängen zu bekommen muss ich ja jewils den Betrag von a, b und c bilden.

Aber wie gehts dann weiter? Wie soll ich die Fläche von dem Teil bestimmen?

Die Formels lautet ja  [mm] \bruch{1}{2} [/mm] g*h.

Die Grundfläche g ist ja gleich dem Betrag von c, aber wie komme ich dann an die Höhe?

P.S. Alles ohne Taschenrechner

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
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Fläche Dreieck aus Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Do 29.09.2005
Autor: Mathe_Alex

Mach aus dem Dreieck ein Viereck, berechne diesen Inhalt und halbiere das Ergebnis. Also einfach das Produkt aus zwei angrenzenden Seiten bzw das Produkt aus zwei Beträgen der Vektoren bilden und dann durch 2 teilen.

Haut mich, wenn ich mich vertue :)

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Fläche Dreieck aus Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Do 29.09.2005
Autor: Fire

Das haut nicht hin. Ergebnis müsste  [mm] \wurzel{210} [/mm] sein.

Wenn ich jetzt aber rechne wie du gesagt hast, komme ich aber immer auf größere Werte.

So ist z.B. |a|*|c| =  [mm] \wurzel{-4^2+5^2} [/mm] * [mm] \wurzel{6^2+2^2-1^2} [/mm] =  [mm] \wurzel{41*40} [/mm] =  [mm] \wurzel{1640} [/mm]

Und von da komme ich auf keinen Fall auf das Ergebnis.

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Bezug
Fläche Dreieck aus Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:50 Do 29.09.2005
Autor: stochastik-stefan

Hi,

also, ich weiß nicht, ob ihr das Kreuzprodukt schon hattet, aber damit geht's ganz einfach.

Es gilt $|a [mm] \times [/mm] b|$=Fläche des Parallelogramms, also ist die Hälfte die Fläche des Dreiecks.

[mm] $a=AB=\pmat{ 6 \\ 2\\-1 }$, $b=AC=\pmat{ 2 \\ 2\\4 }$. [/mm]

Das halbe Kreuzprodukt und somit die Fläche des Dreiecks ist dann:

[mm] $$\frac{1}{2}|a \times [/mm] b| [mm] =\frac{1}{2}|\pmat{ 2*4-(-1)*2 \\ -1*2-6*4\\6*2-2*2 }| =\frac{1}{2}|\pmat{ 10 \\ -26\\8 }|= \frac{1}{2} \wurzel{840}=\wurzel{\bruch{840}{4}}=\wurzel{210}. [/mm] $$

Ergebnis stimmt!!! :-)

Tschüssie.

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Fläche Dreieck aus Vektor: Vektorprodukt
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Do 29.09.2005
Autor: MathePower

Hallo Mathe_Alex,

> Mach aus dem Dreieck ein Viereck, berechne diesen Inhalt
> und halbiere das Ergebnis. Also einfach das Produkt aus
> zwei angrenzenden Seiten bzw das Produkt aus zwei Beträgen
> der Vektoren bilden und dann durch 2 teilen.

das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) trifft es wohl eher.

>  
> Haut mich, wenn ich mich vertue :)

Tu ich nicht.

Gruß
MathePower

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Fläche Dreieck aus Vektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:46 Fr 30.09.2005
Autor: Mathe_Alex

Ok, klappt nicht *schäm* :)
Wird Zeit, dass das Studium beginnt, sonst kann ich bald gar nichts mehr.

Bezug
                                
Bezug
Fläche Dreieck aus Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:43 So 25.11.2007
Autor: Core2

ich habe eine frage zu euere antworten und zwar kann mir jemand bitte erklären wie man von eine vektor aus zahl [mm] \wurzel{840} [/mm] kommen kann !
danke

$ [mm] \frac{1}{2}|a \times [/mm] b| [mm] =\frac{1}{2}|\pmat{ 2\cdot{}4-(-1)\cdot{}2 \\ -1\cdot{}2-6\cdot{}4\\6\cdot{}2-2\cdot{}2 }| =\frac{1}{2}|\pmat{ 10 \\ -26\\8 }|= \frac{1}{2} \wurzel{840}=\wurzel{\bruch{840}{4}}=\wurzel{210}. [/mm] $

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Fläche Dreieck aus Vektor: Betrag
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:48 So 25.11.2007
Autor: Loddar

Hallo core!


Hier wird doch noch der Betrag des entsprechenden Vektores genommen:

$$... \ = \ [mm] \frac{1}{2}*\red{\left|}\vektor{ 10 \\ -26\\8 }\red{\right|} [/mm] \ = \  [mm] \frac{1}{2}*\wurzel{10^2+(-26)^2+8^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}*\wurzel{840}$$ [/mm]

Gruß
Loddar


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Fläche Dreieck aus Vektor: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:50 So 25.11.2007
Autor: Core2

danke

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Fläche Dreieck aus Vektor: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 So 25.11.2007
Autor: Core2

kann mir vllt jemand noch tipp geben oder formel mit dem ich auch andere Flächeninhalt bzw volumen von andere Figuren/Objekten rechnen kann?da ich in paar tage klassenarbeit schreibe, will ich auch mehr oder weniger alles wissen

Bezug
                                                        
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Fläche Dreieck aus Vektor: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:27 So 25.11.2007
Autor: leduart

Hallo
Wenn ihr grade mit Vektoren rechnet kann man alle geradlinig begrenzten Flächen immer mehr oder weniger geschickt in Dreiecke oder Parallelogramme und Dreiecke teilen.
Volumen muss man dann noch die Höhe des Objekts rauskriegen. dann bei geraden Körpern Grundfläche* Höhe, bei spitzen Grundfläche*Höhe/3.
Mehr gibts dazu geradliniges nicht.
Gruss leduart

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