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Fluchtgeschwindigkeit: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Sa 03.11.2012
Autor: Schluchti

Aufgabe
Eine Masse (m = 10kg) werde von der Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] senkrecht nach oben geschossen. Demonstrieren Sie, dass nur im Fall der exakten Gravitationskraft eine Fluchtgeschwindigkeit existiert. Schätzen Sie diese ab.

Hallo,

ich bin nun schon seit einigen Stunden am Überlegen wie ich zeigen kann, dass die Fluchtgeschwindigkeit nur im Falle der exakten Gravitationskraft existiert. Aber irgendwie fehlt mir noch ein passender Ansatz. Meine Überlegungen bisher:

Die Gravitationskraft lässt sich folgendermaßen berechnen:
$F = [mm] \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r^2}$ [/mm]

Bewegungsgleichung für senkrechten Wurf nach oben:
$F = m [mm] \cdot [/mm] g = m [mm] \cdot \frac{dx^2}{dt^2}$ [/mm]
[mm] $\rightarrow [/mm] x = [mm] \frac{g \cdot t^2}{2} [/mm] - [mm] v_0 \cdot [/mm] t + [mm] s_0$ [/mm]

Die Fluchtgeschwindigkeit ist ja jene Geschwindigkeit, die benötigt wird, damit das Objekt das Schwerefeld des Himmelskörpers (in dem Fall der Erde) überwindet.  
Sie berechnet sich zu: [mm] $v_0 [/mm] = [mm] \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}}$ [/mm]

Als nächstes hätte ich nun die Fluchtgeschwindigkeit in die Bewegungsgleichung eingesetzt:
$x = [mm] \frac{g \cdot t^2}{2} [/mm] - [mm] \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}} \cdot [/mm] t + [mm] s_0$ [/mm]

Nun weiß ich aber nicht mehr so recht weiter. Hat jemand nen Tipp für mich? Bin ich auf dem richtigen Weg?

Vielen Dank!

        
Bezug
Fluchtgeschwindigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:53 So 04.11.2012
Autor: notinX

Hallo,

> Eine Masse (m = 10kg) werde von der Erdoberfläche mit
> einer Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm] senkrecht nach oben geschossen.
> Demonstrieren Sie, dass nur im Fall der exakten
> Gravitationskraft eine Fluchtgeschwindigkeit existiert.
> Schätzen Sie diese ab.

ich verstehe nicht so ganz, was das bedeuten soll... Was ist denn eine 'exakte Gravitationskraft' bzw. viel interessanter wie sieht eine Nicht-exakte aus?

>  Hallo,
>  
> ich bin nun schon seit einigen Stunden am Überlegen wie
> ich zeigen kann, dass die Fluchtgeschwindigkeit nur im
> Falle der exakten Gravitationskraft existiert. Aber
> irgendwie fehlt mir noch ein passender Ansatz. Meine
> Überlegungen bisher:
>
> Die Gravitationskraft lässt sich folgendermaßen
> berechnen:
> [mm]F = \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r^2}[/mm]
>  
> Bewegungsgleichung für senkrechten Wurf nach oben:
> [mm]F = m \cdot g = m \cdot \frac{dx^2}{dt^2}[/mm]
>  [mm]\rightarrow x = \frac{g \cdot t^2}{2} - v_0 \cdot t + s_0[/mm]

Das stimmt, wird aber nicht gebraucht.

>  
> Die Fluchtgeschwindigkeit ist ja jene Geschwindigkeit, die
> benötigt wird, damit das Objekt das Schwerefeld des
> Himmelskörpers (in dem Fall der Erde) überwindet.  
> Sie berechnet sich zu: [mm]v_0 = \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}}[/mm]

Genau.

>
> Als nächstes hätte ich nun die Fluchtgeschwindigkeit in
> die Bewegungsgleichung eingesetzt:
> [mm]x = \frac{g \cdot t^2}{2} - \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}} \cdot t + s_0[/mm]
>  
> Nun weiß ich aber nicht mehr so recht weiter. Hat jemand
> nen Tipp für mich? Bin ich auf dem richtigen Weg?

Du möchtest doch die Fluchtgeschwindigkeit berechnen, das hast Du mit
$ [mm] v_0 [/mm] = [mm] \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}} [/mm] $
getan. Da müssen nur noch Werte eingesetzt werden.
Die Fluchtgeschwindigkeit muss so hoch sein, dass sie dem Körper genug Energie verleiht um das Schwerefeld der Erde zu verlassen, also quasi bis ins Unendliche transportiert zu werden:
[mm] $W=\int_{r_0}^{\infty}F\,\mathrm{d}r$ [/mm]
[mm] $r_0$ [/mm] ist die Höhe von der der Körper abgeschossen wird.
Dann muss gelten: [mm] $\frac{1}{2}mv_0^2=W$ [/mm]



>  
> Vielen Dank!

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Fluchtgeschwindigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 So 04.11.2012
Autor: Schluchti

Hallo,

> ich verstehe nicht so ganz, was das bedeuten soll... Was
> ist denn eine 'exakte Gravitationskraft' bzw. viel
> interessanter wie sieht eine Nicht-exakte aus?

Bei der Aufgabenstellung handelt es sich nur um einen Unterpunkt einer umfangreicheren Aufgabenstellung, da der Rest der Aufgabenstellung aber meiner Meinung nach nichts damit zu tun hat, hab ich den weggelassen. Aber hier mal die komplette Aufgabenstellung:



"Ein Körper mit der Masse 10kg falle aus einer (angenommenen) Höhe von h = 1000km auf die Erdoberfläche. Wie unterscheiden sich die Wege, wenn einmal eine konstante Erdbeschleunigung g = [mm] 9.81m/s^2 [/mm] und dann die exakte Gravitationskraft angenommen wird.
1.) Zu welchen Zeitpunkten kommen sie auf der Erde an?
2.) Die Masse werde von der Erdoberfläche mit einer Geschwindigkeit [mm] v_0 [/mm] senkrecht nach oben geschossen. Demonstrieren Sie, dass nur im Fall der exakten Gravitationskraft eine Fluchtgechwindigkeit existiert. Schätzen Sie diese ab."



Den Unterpunkt 1.) hab ich bereits erfolgreich gelöst, nur bei 2.) hänge ich.

> Du möchtest doch die Fluchtgeschwindigkeit berechnen, das
> hast Du mit
> [mm]v_0 = \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}}[/mm]
>  getan. Da
> müssen nur noch Werte eingesetzt werden.  

Das hätte ich mir auch gedacht, nur hat mich der Satz "Schätzen Sie diese ab" in der Aufgabenstellung verwirrt.


> Die Fluchtgeschwindigkeit muss so hoch sein, dass sie dem
> Körper genug Energie verleiht um das Schwerefeld der Erde
> zu verlassen, also quasi bis ins Unendliche transportiert
> zu werden:
>  [mm]W=\int_{r_0}^{\infty}F\,\mathrm{d}r[/mm]
>  [mm]r_0[/mm] ist die Höhe von der der Körper abgeschossen wird.
>  Dann muss gelten: [mm]\frac{1}{2}mv_0^2=W[/mm]

Ok, das heißt:
$W = [mm] \int_{r_0}^\infty{F dr} [/mm] = [mm] \int_{r_0}^\infty{\frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r^2} dr} [/mm] = [mm] \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r_0}$ [/mm]

Das Ganze nun mit der kinetischen Energie gleichsetzen:
[mm] $\frac{1}{2}mv_0^2 [/mm] = [mm] \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r_0}$ [/mm]

Wenn ich das nun nach [mm] v_0 [/mm] umforme, bekomme ich die Fluchtgeschwindigkeit:
$ [mm] v_0 [/mm] = [mm] \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r_0}}$ [/mm]

Aber damit wäre ja noch nicht gezeigt, dass die Fluchtgeschwindigkeit nur im Fall der exakten Gravitationskraft existiert, oder?

Schöne Grüße


Bezug
                        
Bezug
Fluchtgeschwindigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 So 04.11.2012
Autor: notinX


> Hallo,
>  
> > ich verstehe nicht so ganz, was das bedeuten soll... Was
> > ist denn eine 'exakte Gravitationskraft' bzw. viel
> > interessanter wie sieht eine Nicht-exakte aus?
>  
> Bei der Aufgabenstellung handelt es sich nur um einen
> Unterpunkt einer umfangreicheren Aufgabenstellung, da der
> Rest der Aufgabenstellung aber meiner Meinung nach nichts
> damit zu tun hat, hab ich den weggelassen. Aber hier mal
> die komplette Aufgabenstellung:

Mit den folgenden Infos macht die Aufgabe auch Sinn. Du wirst beim Erstellen Deiner Frage nicht umsonst gebeten, die exakte Aufgabenstellung einztippen ;-)

>
>
> "Ein Körper mit der Masse 10kg falle aus einer
> (angenommenen) Höhe von h = 1000km auf die Erdoberfläche.
> Wie unterscheiden sich die Wege, wenn einmal eine konstante
> Erdbeschleunigung g = [mm]9.81m/s^2[/mm] und dann die exakte
> Gravitationskraft angenommen wird.
> 1.) Zu welchen Zeitpunkten kommen sie auf der Erde an?
>  2.) Die Masse werde von der Erdoberfläche mit einer
> Geschwindigkeit [mm]v_0[/mm] senkrecht nach oben geschossen.
> Demonstrieren Sie, dass nur im Fall der exakten
> Gravitationskraft eine Fluchtgechwindigkeit existiert.
> Schätzen Sie diese ab."
>  
>
> Den Unterpunkt 1.) hab ich bereits erfolgreich gelöst, nur
> bei 2.) hänge ich.
>
> > Du möchtest doch die Fluchtgeschwindigkeit berechnen, das
> > hast Du mit
> > [mm]v_0 = \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r}}[/mm]
>  >  
> getan. Da
> > müssen nur noch Werte eingesetzt werden.  
> Das hätte ich mir auch gedacht, nur hat mich der Satz
> "Schätzen Sie diese ab" in der Aufgabenstellung verwirrt.

Einen exakten Wert für die Fluchtgeschwindigkeit anzugeben ist schwierig, da er von vielen Faktoren abhängt. Deshalb vermutlich abschätzen.

>
>
> > Die Fluchtgeschwindigkeit muss so hoch sein, dass sie dem
> > Körper genug Energie verleiht um das Schwerefeld der Erde
> > zu verlassen, also quasi bis ins Unendliche transportiert
> > zu werden:
>  >  [mm]W=\int_{r_0}^{\infty}F\,\mathrm{d}r[/mm]
>  >  [mm]r_0[/mm] ist die Höhe von der der Körper abgeschossen
> wird.
>  >  Dann muss gelten: [mm]\frac{1}{2}mv_0^2=W[/mm]
>  Ok, das heißt:
> [mm]W = \int_{r_0}^\infty{F dr} = \int_{r_0}^\infty{\frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r^2} dr} = \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r_0}[/mm]
>  
> Das Ganze nun mit der kinetischen Energie gleichsetzen:
>  [mm]\frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{G \cdot m \cdot m_{erde}}{r_0}[/mm]
>  
> Wenn ich das nun nach [mm]v_0[/mm] umforme, bekomme ich die
> Fluchtgeschwindigkeit:
> [mm]v_0 = \sqrt{G \cdot \frac{2 \cdot m_{erde}}{r_0}}[/mm]
>  
> Aber damit wäre ja noch nicht gezeigt, dass die
> Fluchtgeschwindigkeit nur im Fall der exakten
> Gravitationskraft existiert, oder?

Noch nicht. Berechne nun, die Energie die bei konstanter Erdbeschleunigung nötig wäre um den Körper ins Unendliche zu befördern. Damit kannst Du dann eine Aussage über die nötige Geschwindigkeit machen.

>  
> Schöne Grüße
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Fluchtgeschwindigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 So 04.11.2012
Autor: Schluchti

Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Uups, das nächste Mal werde ich auch den Rest angeben! :)

> Einen exakten Wert für die Fluchtgeschwindigkeit anzugeben
> ist schwierig, da er von vielen Faktoren abhängt. Deshalb
> vermutlich abschätzen.

Ok, das klingt einleuchtend.


> Noch nicht. Berechne nun, die Energie die bei konstanter
> Erdbeschleunigung nötig wäre um den Körper ins
> Unendliche zu befördern. Damit kannst Du dann eine Aussage
> über die nötige Geschwindigkeit machen.

Ich versuch's mal:
Die Energie bei konstanter Erdbeschleunigung würde demnach: $W = \int_{r_0}^\infty{F dr} = \int_{r_0}^\infty{m \cdot g dr} = \left|_{r_0}^\infty mgr \right.$
Wenn ich die Grenzen einsetze, dann sehe ich, dass $W \rightarrow \infty$ geht. Die Fluchtgeschwindigkeit v_0 geht demnach auch $\rightarrow \infty$. Es existiert also nur bei exakter Gravitationskraft eine Fluchtgeschwindigkeit.

Ist das so richtig?

Danke für deine Hilfe!


Bezug
                                        
Bezug
Fluchtgeschwindigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 04.11.2012
Autor: notinX


> Uups, das nächste Mal werde ich auch den Rest angeben! :)
>  
> > Einen exakten Wert für die Fluchtgeschwindigkeit anzugeben
> > ist schwierig, da er von vielen Faktoren abhängt. Deshalb
> > vermutlich abschätzen.
> Ok, das klingt einleuchtend.
>
>
> > Noch nicht. Berechne nun, die Energie die bei konstanter
> > Erdbeschleunigung nötig wäre um den Körper ins
> > Unendliche zu befördern. Damit kannst Du dann eine Aussage
> > über die nötige Geschwindigkeit machen.
>  
> Ich versuch's mal:
>  Die Energie bei konstanter Erdbeschleunigung würde
> demnach: [mm]W = \int_{r_0}^\infty{F dr} = \int_{r_0}^\infty{m \cdot g dr} = \left|_{r_0}^\infty mgr \right.[/mm]
>  
> Wenn ich die Grenzen einsetze, dann sehe ich, dass [mm]W \rightarrow \infty[/mm]
> geht. Die Fluchtgeschwindigkeit [mm]v_0[/mm] geht demnach auch
> [mm]\rightarrow \infty[/mm]. Es existiert also nur bei exakter
> Gravitationskraft eine Fluchtgeschwindigkeit.
>
> Ist das so richtig?

Ja, das ist richtig.

>  
> Danke für deine Hilfe!
>  

Gern geschehn.

Gruß,

notinX

Bezug
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