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Folgenglieder abschätzen: Idee
Status: (Question) answered Status 
Date: 22:48 Fr 22/09/2017
Author: Orchis

Guten Abend! :)

Ich komme bei Folgendem nicht weiter. Ich habe eine stetige, bijektive Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] und es gibt ein r > 0 mit [mm] f^r(x) [/mm] - x > 1 für alle x [mm] \in \IR^2. [/mm]
Zeigen will ich, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \frac{f^k(x) - x}{k} \geq \frac{1}{r} [/mm] (entschuldigt die schlechte Formatierung, aber ich kriege es irgendwie gerade nicht hin Limes Inferior als Formel richtig zu schreiben...).
Also meine Idee dazu war es, [mm] f^k(x) [/mm] - x als Summe darzustellen, z.B. [mm] f^k(x) [/mm] - x = [mm] \sum\limits_{i=0}^{k-1} [f^{i+1}(x) [/mm] - [mm] f^i(x)]. [/mm] Die Bedingung [mm] f^r(x) [/mm] - x > 1 kann man ja auch in dieser Form schreiben, d.h. [mm] \sum\limits_{j=0}^{r-1} [f^{i+1}(x) [/mm] - [mm] f^i(x)] [/mm] > 1 und wollte dann damit abschätzen.
[mm] \frac{f^k(x) - x}{k} [/mm] = [mm] \frac{\sum\limits_{i=0}^{k-1} [f^{i+1}(x) - f^i(x)]}{k} [/mm] > [mm] \frac{\sum\limits_{i=r}^{k-1} [f^{i+1}(x) - f^i(x)]}{k}. [/mm] Kann man das noch weiter nach unten abschätzen?

Weiß jemand Rat/hat jemand einen Tipp?

Viele Grüße und danke sehr!

        
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Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 15:52 So 24/09/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

bei deinen Formulierungen stellen sich mir gleich mehrere Fragen:

> Ich habe eine stetige, bijektive Funktion [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm]

ok

> und es gibt ein r > 0 mit [mm]f^r(x)[/mm] - x > 1 für alle x [mm]\in \IR^2.[/mm]

Dazu gleich eine Frage und eine Intervention: Was meinst du mit mit [mm] $f^r$… [/mm] die r-te Ableitung oder wirklich die r-te Potenz von f?
Ich tendiere eher zu letzterem, da anscheinend [mm] $r\in \IR$ [/mm] gelten soll mit $r>0$.

Aber selbst wenn: Was soll denn die r-te Potenz von einem Vektor sein? f(x) ist ja selbst ein Element aus [mm] $\IR^2$. [/mm]
Daher die Frage: Wie soll [mm] f^r [/mm] definiert sein?

Gruß,
Gono

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Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 18:18 So 24/09/2017
Author: fred97

Neben der kritik von Gono ist mir noch aufgefallen:

die folgenden Ungleichungen sind völlig unsinnig:

$ [mm] f^r(x) [/mm]  - x > 1$,

$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] $ inf $ [mm] \frac{f^k(x) - x}{k} \geq \frac{1}{r} [/mm] $,


$ [mm] \sum\limits_{j=0}^{r-1} [f^{i+1}(x) [/mm] $ - $ [mm] f^i(x)] [/mm] $ > 1.

Warum ? Darum : links steht ein Element des [mm] \IR^2, [/mm] rechts aber eine Zahl !???

Es bleibt auch die Frage, was ist der lim inf einer Vekrorfolge ????


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Folgenglieder abschätzen: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:00 Mo 25/09/2017
Author: Orchis

Ach, ich Depp. Ich habe das folgende beim eigenen Probieren immer weggelassen, daher seit ihr da natürlich auf Ungereimtheiten gestoßen. Entschuldigung! Also gemeint ist:

[mm] f^r [/mm] := f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f (r mal)

und gemeint ist eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR. [/mm]

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Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 16:23 Mo 25/09/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

ich spiel mal munter weiter lustiges rätselraten und vermute, statt $r>0$ meinst du eigentlich [mm] $r\in\IN$. [/mm]

Ich rate weiter, dass dann [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] also stetig und bijektiv sein, sowie ein [mm] $r\in \IN$ [/mm] existieren, so dass [mm] $f^r(x) [/mm] - x > 1$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.

Du willst nun zeigen, dass dann [mm] $\liminf_{k\to\infty} \frac{f^k(x) - x}{k} \ge \frac{1}{r}$ [/mm] gilt.

Erstens mach dir mal klar, dass aus deinen Voraussetzungen folgt, dass $f$ streng monoton wachsend sein muss (warum?).
Dann betrachte mal die Teilfolge $k=n*r$ und zeige [mm] $f^{nr}(x) [/mm]  - x [mm] \ge [/mm] n$ indem du [mm] $f^{nr} [/mm] = [mm] f^{(n-1)r}\circ f^r$ [/mm] benutzt.

Gruß,
Gono

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Folgenglieder abschätzen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 17:47 Di 26/09/2017
Author: Orchis

Ja, genau richtig geraten. :) Ich muss zugeben, die Hinweise überfordern mich noch etwas. Ich sehe noch nicht einmal, warum f streng monoton wachsend sein muss. Injektivität gibt mir nur, dass es monoton wachsend oder fallend ist. Ich brauch noch ein bisschen. Danke aber schon mal!

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Folgenglieder abschätzen: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 09:25 Mi 27/09/2017
Author: Gonozal_IX

Hiho,

> Injektivität gibt mir nur, dass es monoton wachsend oder fallend ist.

Dafür brauchst du schon die Stetigkeit. Injektivität allein reicht nicht.

Ansonsten: Nimm mal an f wäre monoton fallen, was passiert dann mit [mm] $f^r(x) [/mm] - x$?

Gruß,
Gono

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