matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenFolgenglieder abschätzen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Folgenglieder abschätzen
Folgenglieder abschätzen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Folgenglieder abschätzen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:48 Fr 22.09.2017
Autor: Orchis

Guten Abend! :)

Ich komme bei Folgendem nicht weiter. Ich habe eine stetige, bijektive Funktion [mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] und es gibt ein r > 0 mit [mm] f^r(x) [/mm] - x > 1 für alle x [mm] \in \IR^2. [/mm]
Zeigen will ich, dass [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] inf [mm] \frac{f^k(x) - x}{k} \geq \frac{1}{r} [/mm] (entschuldigt die schlechte Formatierung, aber ich kriege es irgendwie gerade nicht hin Limes Inferior als Formel richtig zu schreiben...).
Also meine Idee dazu war es, [mm] f^k(x) [/mm] - x als Summe darzustellen, z.B. [mm] f^k(x) [/mm] - x = [mm] \sum\limits_{i=0}^{k-1} [f^{i+1}(x) [/mm] - [mm] f^i(x)]. [/mm] Die Bedingung [mm] f^r(x) [/mm] - x > 1 kann man ja auch in dieser Form schreiben, d.h. [mm] \sum\limits_{j=0}^{r-1} [f^{i+1}(x) [/mm] - [mm] f^i(x)] [/mm] > 1 und wollte dann damit abschätzen.
[mm] \frac{f^k(x) - x}{k} [/mm] = [mm] \frac{\sum\limits_{i=0}^{k-1} [f^{i+1}(x) - f^i(x)]}{k} [/mm] > [mm] \frac{\sum\limits_{i=r}^{k-1} [f^{i+1}(x) - f^i(x)]}{k}. [/mm] Kann man das noch weiter nach unten abschätzen?

Weiß jemand Rat/hat jemand einen Tipp?

Viele Grüße und danke sehr!

        
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:52 So 24.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

bei deinen Formulierungen stellen sich mir gleich mehrere Fragen:

> Ich habe eine stetige, bijektive Funktion [mm]f:\IR^2 \to \IR^2[/mm]

ok

> und es gibt ein r > 0 mit [mm]f^r(x)[/mm] - x > 1 für alle x [mm]\in \IR^2.[/mm]

Dazu gleich eine Frage und eine Intervention: Was meinst du mit mit [mm] $f^r$… [/mm] die r-te Ableitung oder wirklich die r-te Potenz von f?
Ich tendiere eher zu letzterem, da anscheinend [mm] $r\in \IR$ [/mm] gelten soll mit $r>0$.

Aber selbst wenn: Was soll denn die r-te Potenz von einem Vektor sein? f(x) ist ja selbst ein Element aus [mm] $\IR^2$. [/mm]
Daher die Frage: Wie soll [mm] f^r [/mm] definiert sein?

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 So 24.09.2017
Autor: fred97

Neben der kritik von Gono ist mir noch aufgefallen:

die folgenden Ungleichungen sind völlig unsinnig:

$ [mm] f^r(x) [/mm]  - x > 1$,

$ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] $ inf $ [mm] \frac{f^k(x) - x}{k} \geq \frac{1}{r} [/mm] $,


$ [mm] \sum\limits_{j=0}^{r-1} [f^{i+1}(x) [/mm] $ - $ [mm] f^i(x)] [/mm] $ > 1.

Warum ? Darum : links steht ein Element des [mm] \IR^2, [/mm] rechts aber eine Zahl !???

Es bleibt auch die Frage, was ist der lim inf einer Vekrorfolge ????


Bezug
                
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:00 Mo 25.09.2017
Autor: Orchis

Ach, ich Depp. Ich habe das folgende beim eigenen Probieren immer weggelassen, daher seit ihr da natürlich auf Ungereimtheiten gestoßen. Entschuldigung! Also gemeint ist:

[mm] f^r [/mm] := f [mm] \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f (r mal)

und gemeint ist eine Funktion [mm] f:\IR \to \IR. [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 25.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich spiel mal munter weiter lustiges rätselraten und vermute, statt $r>0$ meinst du eigentlich [mm] $r\in\IN$. [/mm]

Ich rate weiter, dass dann [mm] $f:\IR \to \IR$ [/mm] also stetig und bijektiv sein, sowie ein [mm] $r\in \IN$ [/mm] existieren, so dass [mm] $f^r(x) [/mm] - x > 1$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt.

Du willst nun zeigen, dass dann [mm] $\liminf_{k\to\infty} \frac{f^k(x) - x}{k} \ge \frac{1}{r}$ [/mm] gilt.

Erstens mach dir mal klar, dass aus deinen Voraussetzungen folgt, dass $f$ streng monoton wachsend sein muss (warum?).
Dann betrachte mal die Teilfolge $k=n*r$ und zeige [mm] $f^{nr}(x) [/mm]  - x [mm] \ge [/mm] n$ indem du [mm] $f^{nr} [/mm] = [mm] f^{(n-1)r}\circ f^r$ [/mm] benutzt.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:47 Di 26.09.2017
Autor: Orchis

Ja, genau richtig geraten. :) Ich muss zugeben, die Hinweise überfordern mich noch etwas. Ich sehe noch nicht einmal, warum f streng monoton wachsend sein muss. Injektivität gibt mir nur, dass es monoton wachsend oder fallend ist. Ich brauch noch ein bisschen. Danke aber schon mal!

Bezug
                                        
Bezug
Folgenglieder abschätzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Mi 27.09.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Injektivität gibt mir nur, dass es monoton wachsend oder fallend ist.

Dafür brauchst du schon die Stetigkeit. Injektivität allein reicht nicht.

Ansonsten: Nimm mal an f wäre monoton fallen, was passiert dann mit [mm] $f^r(x) [/mm] - x$?

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]