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Forum "Scalar products/modul" - Fundamentalmatrix
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Fundamentalmatrix: Idee
Status: (Question) answered Status 
Date: 18:59 Mi 26/08/2015
Author: Paddi15

Aufgabe
Es sei [mm] {e_1,e_2,e_3} [/mm] die Standardbasis des [mm] R^3. [/mm]

Bestimmen Sie alle Skalarprodukte auf [mm] R^3, [/mm] für die die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.) [mm] \left\Vert e_1 \right\Vert = 1[/mm], [mm] \left\Vert e_2 \right\Vert = 2[/mm], [mm] \left\Vert e_3 \right\Vert = \sqrt{2} [/mm]
2.) der Winkel zwischen [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] ist [mm] \frac{\pi}{3}[/mm]
3.) [mm] e_2 [/mm] ist orthogonal zu [mm] e_3. [/mm]



Also wegen [mm] \frac{1}{2} =\cos \frac{\pi}{3} = \frac{ \langle e_1,e_2 \rangle}{ \left\Vert e_1 \right\Vert * \left\Vert e_2 \right\Vert}[/mm] ist ja [mm] \langle e_1, e_2 \rangle[/mm] = 1.

Aber wie komme ist denn auf die Fundamentalmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & \alpha \\ 1 & 4 & 0 \\ \alpha & 0 & 2} [/mm].

Stehen auf der Diagonalen die Quadrate der Länge der Basen?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Fundamentalmatrix: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 23:45 Mi 26/08/2015
Author: Chris84


> Es sei [mm]{e_1,e_2,e_3}[/mm] die Standardbasis des [mm]R^3.[/mm]
>  
> Bestimmen Sie alle Skalarprodukte auf [mm]R^3,[/mm] für die die
> folgenden Bedingungen erfüllt sind:
>  
> 1.) [mm] \left\Vert e_1 \right\Vert = 1[/mm], [mm] \left\Vert e_2 \right\Vert = 2[/mm], [mm] \left\Vert e_3 \right\Vert = \sqrt{2}[/mm]
>  
> 2.) der Winkel zwischen [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] ist [mm] \frac{\pi}{3}[/mm]
>  
> 3.) [mm]e_2[/mm] ist orthogonal zu [mm]e_3.[/mm]
>  
>
> Also wegen [mm] \frac{1}{2} =\cos \frac{\pi}{3} = \frac{ \langle e_1,e_2 \rangle}{ \left\Vert e_1 \right\Vert * \left\Vert e_2 \right\Vert}[/mm] ist
> ja [mm] \langle e_1, e_2 \rangle[/mm] = 1.
>  
> Aber wie komme ist denn auf die Fundamentalmatrix [mm]\pmat{ 1 & 1 & \alpha \\ 1 & 4 & 0 \\ \alpha & 0 & 2} [/mm].
>  
> Stehen auf der Diagonalen die Quadrate der Länge der
> Basen?
>  
> Vielen Dank im Voraus.

Huhu,
wenn eine Fundamentalmatrix $H$ gegeben ist, ist das Skalarprodukt doch gerade

[mm] $_H [/mm] := [mm] _S,$ [/mm]

wobei [mm] $v_{i,j}$ [/mm] beliebige Vektoren, [mm] $\cdot$ [/mm] ein Matrix-Vektor-Produkt und [mm] $<\cdot,\cdot>_S$ [/mm] das Standardskalarprodukt im [mm] $\IR^3$ [/mm] bezeichnen.

Die dir gegebenen Vektoren sind die kanonischen Einheitsvektoren. Aus den Bedingungen kannst du dir nun Gleichungen basteln, um die Eintraege von $H$ zu bestimmen (bedenke, dass H wegen der Symmetrie des Skalarprodukts im Reellen ebenso symmetrisch ist).

Als Beispiel nehme ich mal [mm] $||e_2||=2$: [/mm]

[mm] $4=||e_2||^2 [/mm] = [mm] _H=<\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} } \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0}>_S [/mm]
[mm] =<\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{h_{12} \\ h_{22} \\ h_{32} }>_S=h_{22}$. [/mm]

Klar soweit? :)

Nun du fuer die restlichen Bedingungen....

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Fundamentalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:29 Do 27/08/2015
Author: Paddi15

Aufgabe
 


Vielen Dank für deine tolle Hilfe!

[mm] _H=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} } \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0}>_S = 1[/mm], hiermit wäre dann h12 und h21 gleich 1 , da sowohl [mm] [/mm] als auch [mm] [/mm] gleich 1 ist, richtig?

​ [mm] _H=<\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} } \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1}>_S = 0[/mm], ist ja gleich Null, da [mm] e_2 [/mm] zu [mm] e_3 [/mm] orthogonal ist.

Hiermit wäre, dann auch h23 und h32 gleich 0, da [mm] sowohl  [/mm] als auch [mm] [/mm] gleich 0 ist, richtig?

Dann haben wir nichts über die Beziehung zwischen [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3 [/mm] gegeben, deshalb wählen wir ein [mm] \lambda [/mm] und lösen dieses [mm] \lambda [/mm] so, dass die Fundamentalmatrix positiv definit ist, richtig? :)
 

Bezug
                        
Bezug
Fundamentalmatrix: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:41 Do 27/08/2015
Author: Chris84


>  
>  
> Vielen Dank für deine tolle Hilfe!
>  
> [mm] _H=<\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} } \cdot \vektor{0 \\ 1 \\ 0}>_S = 1[/mm],
> hiermit wäre dann h12 und h21 gleich 1 , da sowohl
> [mm][/mm] als auch [mm][/mm] gleich 1 ist, richtig?

Passt :) (Du hast natuerlich schon in deinem ersten Post die Rechnung fuer den Winkel niedergeschrieben. War hier nur etwas verwirrend, gleich ohne Begruendung die "1" zu sehen. Nehme an, du schreibst das alles nochmal sauber auf ^^)

Und genau: Dass [mm] $h_{12}=h_{21}$ [/mm] meinte ich mit Symmetrie.

>  
> ​ [mm] _H=<\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, \pmat{ h_{11} & h_{12} & h_{13} \\ h_{21} & h_{22} & h_{23} \\ h_{31} & h_{32} & h_{33} } \cdot \vektor{0 \\ 0 \\ 1}>_S = 0[/mm],
> ist ja gleich Null, da [mm]e_2[/mm] zu [mm]e_3[/mm] orthogonal ist.
>  
> Hiermit wäre, dann auch h23 und h32 gleich 0, da
> [mm]sowohl [/mm] als auch [mm][/mm] gleich 0 ist,
> richtig?

Jep :)

>  
> Dann haben wir nichts über die Beziehung zwischen [mm]e_1[/mm] und
> [mm]e_3[/mm] gegeben, deshalb wählen wir ein [mm]\lambda[/mm] und lösen
> dieses [mm]\lambda[/mm] so, dass die Fundamentalmatrix positiv
> definit ist, richtig? :)
>   

Wonach willst du aufloesen? In der Musterloesung steht ja auch nur ein [mm] $\alpha$. [/mm] Ich nehme mal an, dass man das so allgemein halten soll.

Gruss,
Chris



Bezug
                                
Bezug
Fundamentalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:57 Do 27/08/2015
Author: Paddi15

Aufgabe
Danke für die schnelle Antwort.
Ja,wird sauber auf Papier übertragen :P

Sorry, meinte natürlich [mm] \alpha. [/mm] Aber ist das korrekt, dass ich dies über die positive Definitheit auflösen soll.

Denn es ist ja keine Beziehung vorgegeben zwischen [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_3.  [/mm]




Bezug
                                        
Bezug
Fundamentalmatrix: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:19 Do 27/08/2015
Author: Chris84


> Danke für die schnelle Antwort.
>  Ja,wird sauber auf Papier übertragen :P
>  
> Sorry, meinte natürlich [mm]\alpha.[/mm] Aber ist das korrekt, dass

Das war nicht auf die unterschiedliche Bezeichnung bezogen, sondern nur darauf, dass in der Musterloesung ueberhaupt ein Parameter steht.

> ich dies über die positive Definitheit auflösen soll.
>  
> Denn es ist ja keine Beziehung vorgegeben zwischen [mm]e_1[/mm] und
> [mm]e_3. [/mm]

Richtig. Also bleibt [mm] $\alpha$ [/mm] einfach stehen.
Wenn man will, kann man ja noch [mm] $\alpha>0$, [/mm] oder so, schreiben. Aber konkret wirst du da nix ausrechnen koennen.

Ausserdem steht doch in der Aufgabenstellung, dass alle Skalarprodukte anzugeben seien.

>  
>  


Bezug
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